若木 Hexo https://www.keitsuki.top/ All rights reserved 2026, 若木 KeiTsuki's Blog KeiTsuki 2026-04-12T07:40:05.509Z 若木 时隔四年多再次回到母校，真是应了那句话，“老东西一离校，学校立刻就翻新”。在我离校前，气象谷还是未建成的状态，现在已经成为了一个小商圈了。

竟然有了海底捞和星巴克，哦…

星巴克星巴克

不得不说，学校里栽的樱花还是开的很漂亮

最后，为什么有这么多可爱的猫，颜色杂杂的哈哈哈

]]> https://www.keitsuki.top/posts/c6d37830/ 2026-03-28T15:30:58.000Z 时隔四年多再次回到母校，真是应了那句话，“老东西一离校，学校立刻就翻新”。在我离校前，气象谷还是未建成的状态，现在已经成为了一个小商圈了。

最近一直在忙着学业的事情，对很多消息都很迟钝。昨天晚上朋友群聊里谈到张雪峰去世了，我一时有些震惊，一来在我的印象中他还是很年轻的，再就是他和我是同乡，我们都来自齐齐哈尔。

这又让我开始审视自己的生活，在很久前我的睡眠就在6-7个小时以下，随着年龄增长逐渐也感觉到身体出现了症状。群里的朋友说，“不能再熬夜了，要好好睡觉”。我深以为然。

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这又让我开始审视自己的生活，在很久前我的睡眠就在6-7个小时以下，随着年龄增长逐渐也感觉]]>

张雪峰离世 2026-04-12T07:40:05.509Z 若木 简单整理一下本科考试云降水中试卷中分值占比最高，且重复率极高的部分

连续碰并增长方程的推导

利用收集滴半径RR、末速度UU、云滴谱 n(r)n(r) 和碰并效率E(r)E(r)推导半径增长率 dR/dtdR/dt与云含水量WW的关系

物理模型假设

假设一个半径为 RR 的大收集滴，以膜速度U(R)U(R)下落，穿过由半径为 rr的微滴组成的微滴群。微滴群的数密度尺度谱分布为n(r)n(r)，大收集滴与微滴之间的碰并效率为 E(R,r)E(R,r)

单位时间内扫过的空间体积

大水滴在下落过程中会扫过一个几何截面。在单位时间内，半径为 RR 的收集滴相对于半径为 rr的微滴扫过的空间体积为：

dVdt=π(R+r)2[u(R)−u(r)]\frac{dV}{dt} = \pi(R + r)^2 [u(R) - u(r)]

其中 [u(R)−u(r)][u(R) - u(r)]是两滴之间的相对末速度。

被碰并的微滴水与总体积增加率

在上述体积内，半径在 rr和r+drr+ dr之间的平均微滴数目为该体积乘以数密度n(r)n(r)和碰并效率 EE。对所有微滴进行积分，可以得到大滴总体积 vv的增加速率：

dvdt=∫0R43πr3⋅π(R+r)2[u(R)−u(r)]E(R,r)n(r)dr\frac{dv}{dt} = \int_0^R \frac{4}{3} \pi r^3 \cdot \pi (R+r)^2 [u(R)-u(r)] E(R,r) n(r) dr

转换为半径增长率

已知球形水滴的体积 v=43πR3v = \frac{4}{3} \pi R^3，其导数为 dvdt=4πR2dRdt\frac{dv}{dt} = 4 \pi R^2 \frac{dR}{dt}。通过代换，可以得到大滴半径增长率 dR/dtdR/dt的一般形式：

dRdt=14πR2∫0R34πr3⋅π(R+r)2[u(R)−u(r)]E(R,r)n(r)dr\frac{dR}{dt} = \frac{1}{4\pi R^2} \int_0^R \frac{3}{4} \pi r^3 \cdot \pi (R+r)^2 [u(R)- u(r)] E(R,r) n(r) dr

引入云含水量进行简化推导

在实际计算中，通常进行以下假设：

  • R≫rR \gg r 收集滴的半径远大于被收集的液滴，因此 R+r≈RR +r \approx R
  • 忽略液滴末速度：u(r)≈0u(r) \approx 0
  • 碰并效率取平均值： 取EE为微滴群碰并效率的有效平均

此时，方程简化为

dRdt=u(R)E4∫0R34πr3n(r)dr\frac{dR}{dt} = \frac{u(R)E}{4} \int_0^R \frac{3}{4}\pi r^3 n(r) dr

由于云的液态水含量 WW定义为：

W=ρw∫0∞43πr3n(r)drW = \rho_w \int_0^\infty \frac{4}{3} \pi r^3 n(r) dr

将 WW带入上式，即可导出 dR/dtdR / dt与云含水量 WW的关系

dRdt=EWu(R)4ρw\frac{dR}{dt} = \frac{E W u(R)}{4\rho_w}

水滴质量/粒径扩散增长方程

推导水汽扩散率 DD作用下的基本增长方程，并讨论其与粒径成反比的特征。

水汽扩散率 DD被定义为，在单位水汽密度梯度作用下，单位时间内通过垂直于梯度的单位面积的水汽扩散质量。

dMdt=D⋅A⋅dρwdx\frac{dM}{dt} = D \cdot A \cdot \frac{d \rho_w}{dx}

假设一个半径为 rr的球形液滴处于稳定水汽场中。在距离球心为x(x≥r)x(x \geq r)处，扩散面积为 A=4πx2A = 4\pi x^2。

将面积带入定义

dMdt=4πx2Ddρwdx\frac{dM}{dt} = 4\pi x^2 D \frac{d\rho_w}{dx}

变量分离积分

∫r∞dM/dt4πDx2dx=∫ρ0ρ1dρw\int_r^\infty \frac{dM/dt}{4\pi D x^2} dx = \int_{\rho0}^{\rho 1} d \rho_w

得到结论

dMdt=4πrD(ρ1−ρ0)\frac{dM}{dt} = 4\pi r D(\rho_1 - \rho_0)

该式子表明质量增长率与半径rr成正比，半径越大，质量增长越快。

柯拉 (Köhler) 方程与平衡曲线

要求推导临界半径 rcr_c和临界相对湿度fcf_c 的表达式，绘出平衡曲线，并阐述液滴如何响应环境湿度变化（稳定态、亚稳态、霾滴/霾点）。

柯拉方程

一个可溶性小液滴表面表面所对应的平衡饱和水汽压，既收到曲率影响，也受到溶质影响。

Kelven 方程

半径为 rr的弯曲液滴表面，其平衡饱和水汽压 ErE_r与平面饱和水汽压E∞E_\infty的关系。

从化学势平衡出发：

液滴表面达到气液平衡时，液相中水的化学势和气相中水汽的化学势相等。

μl(r,pl,T)=μv(ep,T)\mu_l (r,p_l,T) = \mu_v(e_p,T)

对于平液面也是一样：

μl(∞,pl,T)=μv(e∞,T)\mu_l (\infty,p_l,T) = \mu_v(e_\infty,T)

两式相减

μl(r,pl,T)−μl(∞,pl,T)=μv(ep,T)−μv(e∞,T)\mu_l (r,p_l,T) - \mu_l (\infty,p_l,T) = \mu_v(e_p,T) - \mu_v(e_\infty,T)

化学势的变化量：

dμ=−sdT+vdpd\mu = -s dT + v dp

在等温过程下，右侧第一项去掉，在左侧液相侧，液态水近似不可压缩

dμl=vldpd\mu_l = v_l dp

μl(T,pl)−μl(T,p∞)=vl(pl−p∞)\mu_l(T,p_l) - \mu_l(T, p_\infty) = v_l (p_l - p_\infty)

右侧气相侧，把水汽看作理想气体

dμv=RTpdpd \mu_v = \frac{RT}{p} dp

从 E∞E_\infty 积分到ErE_r

μv(T,Er)−μv(T,E∞)=RTln⁡ErE∞\mu_v(T, E_r) - \mu_v(T, E_\infty) = RT \ln \frac{E_r}{E_\infty}

所以有

ln⁡ErE∞=vl(pl−p∞)RT\ln \frac{E_r}{E_\infty} = \frac{v_l(p_l-p_\infty)}{RT}

引入 Laplace 压差

pl−p∞≈2σrp_l - p_\infty \approx \frac{2\sigma}{r}

那就得到了

ln⁡ErE∞=2σMwρwRT⋅1r\ln \frac{E_r}{E_\infty} = \frac{2\sigma M_w}{\rho_wRT}\cdot \frac{1}{r}

拉乌尔定律

在理想稀溶液中，某组分在溶液表面上的平衡蒸气压，等于它在纯态时的蒸气压乘以它在溶液中的摩尔分数。

如果我们只关心水，那就写成

e=e0xwe = e_0x_w

其中：

  • ee：溶液表面的平衡水汽压
  • e0e_0：纯水平面上的平衡水汽压
  • xwx_w：水的摩尔分数

如果溶液里只有水+溶质，那么

xw=NN+nx_w = \frac{N}{N+n}

其中：

  • NN：水的摩尔数
  • nn：溶质的摩尔数

于是拉乌尔定律就写成

ee0=NN+n\frac{e}{e_0} = \frac{N}{N+n}

如果溶质时电解质，比如 NaClNaCl，会解离为两个离子，那么有效粒子数要乘上一个因子，例如氯化钠

ee0=NN+2n\frac{e}{e_0} = \frac{N}{N+2n}

溶液里只要掺进了别的物质，水的蒸气压就会降低。

如果溶质很少，n≪Nn \ll N，那么

NN+n≈1−nN\frac{N}{N+n} \approx 1 - \frac{n}{N}

所以

ee0≈1−nN\frac{e}{e_0} \approx 1 - \frac{n}{N}

结合两个效应：

Kelven效应：

ErE∞=exp⁡(2σMwρwRT⋅1r)\frac{E_r}{E_\infty} = \exp(\frac{2\sigma M_w}{\rho_wRT} \cdot \frac{1}{r})

泰勒展开

ErE∞≈1+cr1r\frac{E_r}{E_\infty} \approx 1 + c_r \frac{1}{r}

拉乌尔定律：

ErE∞≈1−cnr3\frac{E_r}{E_\infty} \approx 1 - \frac{c_n}{r^3}

因为液滴中水的量与体积成正比，体积与r3r^3成正比

所以

ErE∞≈(1+crr)(1−cnr3)\frac{E_r}{E_\infty} \approx (1 + \frac{c_r}{r})(1 - \frac{c_n}{r^3})

展开略去高阶小项

ErE∞=1+crr−cnr3\frac{E_r}{E_\infty} = 1 + \frac{c_r}{r} - \frac{c_n}{r^3}

计算临界半径rcr_c

令

S(r)≡ErE∞S(r) \equiv \frac{E_r}{E_\infty}

对S(r)S(r)求导，得

dSdr=−crr2+3cnr4\frac{dS}{dr} = -\frac{c_r}{r^2} + \frac{3c_n}{r^4}

令 dSdr=0\frac{dS}{dr}= 0，于是

rc=(3cncr)1/2r_c = \left(\frac{3c_n}{c_r}\right)^{1/2}

再把 rcr_c带回方程，可得到临界饱和比

Sc=1+(4cr327cn)1/2S_c = 1 + \left(\frac{4c_r^3}{27c_n}\right)^{1/2}

云滴谱分布计算 (Khrgian-Mazin 分布)

要求利用该分布函数求解云的数密度 NN、含水量 WW、雷达反射率因子 ZZ以及能见度，并讨论  WW 与 ZZ的关系

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连续碰并增长方程的推导

利用收集滴半径

云降水和大气物理（五） 2026-04-12T07:40:05.509Z 若木 大气热力学的预备知识

气块模型

指宏观上足够小而微观上又大到含有大量分子的封闭空气团，其内部可以包含水汽、液态水和固态水。
此气块内 TT，PP 和湿度等都呈现均匀分布，各个物理量服从热力学定律和状态方程。气块运动时是绝热的，遵从准静力条件，环境大气处于静力平衡。

p=pe p = p_e

dpedz=−ρeg\frac{dp_e}{dz} = - \rho_e g

热力学第一定律

设某系统经历一个无限小过程，内能改变量 +dU+d U，从外界吸热 +δQ+\delta Q，外界做功 +δA+\delta A

dU=δQ+δAd U= \delta Q + \delta A

公式中 dUdU 代表在无限靠近的初、终状态内能值的微量差，由于热量和功并不是状态函数，只是与过程有关的无限小量，故用 δQ\delta Q 和 δA\delta A 表示。

热流量方程

常温常压下空气块可以视作理想气体，对于单位质量的空气块，根据焦耳内能定律，有：

dU=cvdTdU = c_v dT

假设仅仅考虑膨胀做功：

δA=−pdV\delta A = - p dV

气块满足准静力条件：

p=pep = p_e

热力学第一定律的表示：

dU=δQ−pdVdU = \delta Q - pdV

对于理想气体，内能仅仅是温度 TT的函数：

dQ=cvdT+pdαdQ = c_v dT + p d\alpha

cvc_v 是湿空气的必定容热容，α\alpha 为比体积，QQ 为单位质量空气的热量。由于空气体积不是直接测量的气象要素，根据状态方程，以及比定压热容cpc_p和比定容热容cvc_v的关系

pα=RTcp−cv=RdQ=cvdT+pdα\begin{align*}p \alpha = RT\\c_p - c_v = R\\dQ = c_v dT + p d\alpha\end{align*}

δQ=cpdT−αdp\delta Q = c_p dT - \alpha dp

大气能量的基本形式

  • 单位质量空气的内能
  • 单位质量空气的位能，重力位势
  • 单位质量空气的动能 Ek=1/2(u2+v2+w2)=1/2V2E_k = 1/2(u^2 + v^2 + w^2) = 1/2 V^2
  • 单位追浪空气的潜热能 EL=LqE_L = Lq

比熵和比焓

熵和焓都是广延量，总熵和总焓与系统的质量或摩尔数成正比。对于某种物质质量为 mm 的单相系，有总熵 S=msS = ms 及总焓 H=mhH=mh，其中 ss 和 hh 是单位质量的熵和焓，分别称为比熵和比焓。

比熵和比焓的计算通常以 pp 、TT 为自变量，因此将他们写成以下的形式：

ds=(∂s∂T)pdT+(∂s∂T)Tdp ds = \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_p dT + \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_T dp

dh=(∂h∂T)pdT+(∂h∂p)Tdp dh = \left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_p dT + \left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_T dp

dH=TdS+VdpdH = TdS + Vdp

将其稍微变换一下

ds=1Tdh+αTdpds = \frac{1}{T}dh + \frac{\alpha}{T}dp

式子中 α\alpha 是比容 V/mV/m，

ds=1T(∂h∂T)pdT+1T[(∂h∂p)T−α]dpds = \frac{1}{T} \left(\frac{\partial h}{\partial T }\right)_p dT + \frac{1}{T} \left[\left(\frac{\partial h}{\partial p }\right)_T - \alpha \right] dp

我们知道 ∂h∂Tp=cp\frac{\partial h}{\partial T}_p = c_p，并且根据麦克斯韦关系：

(∂s∂p)T=−(∂α∂T)p\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_T = -\left(\frac{\partial \alpha}{\partial T}\right)_p

因此：

ds=(∂s∂p)Tdpds = \left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_T dp

带入

dh=Tds+αdpdh = Tds + \alpha dp

(∂h∂p)T=T(∂s∂p)T+α=α−T(∂α∂T)p\left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_T = T\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_T + \alpha = \alpha - T\left(\frac{\partial \alpha}{\partial T}\right)_p

ds=cpTdT−(∂α∂T)pdp=cpdln⁡T−αβpdp(1)ds = \frac{c_p}{T}dT - \left(\frac{\partial \alpha}{\partial T}\right)_p dp = c_p d \ln{T} - \alpha \beta_p dp \tag{1}

我们定义 βp\beta_p 为定压膨胀系数：

βp=1α(∂α∂T)p\beta_p = \frac{1}{\alpha}\left(\frac{\partial \alpha}{\partial T}\right)_p

同样地

dh=cpdT+α(1−Tβp)dpdh = c_p dT + \alpha ( 1 - T \beta_p) dp

大气中的干绝热过程

绝热过程是系统与外界无热量交换的过程。
干绝热过程是指干空气或者未饱和湿空气的绝热过程，例如干空气块的升降。

干绝热方程

根据前面的热力学第一定律形式：

dQ=cpdT−αdpdQ = c_p dT - \alpha dp

dQ=0dQ =0，进行整理

0=cpdT−RvTpdp0 = c_p dT - \frac{R_v T}{p} dp

dT=RTcpdppdT = \frac{RT}{c_p}\frac{dp}{p}

两边整理积分得到：

TT0=(pp0)Rcp\frac{T}{T_0}= \left(\frac{p}{p_0}\right)^{\frac{R}{c_p}}

公式就是干空气或未饱和湿空气的绝热方程，也称为泊松方程。通常我们令 κ=R/cp\kappa = R/c_p，则有：

TT0=(pp0)κ\frac{T}{T_0}= \left(\frac{p}{p_0}\right)^{\kappa}

干绝热递减率

作干绝热升降运动的气块温度随高度的变化率称为干绝热递减率。

γd=−dTdz\gamma_d = - \frac{dT}{dz}

在热流量方程中 令 dQ=0dQ = 0，并整理得到

dT=RvTcp⋅−ρegdzρeReTedT = \frac{R_vT}{c_p} \cdot \frac{-\rho_e g dz}{\rho_e R_e T_e}

由于 T≈TeT \approx T_e，Rv≈ReR_v \approx R_e，Cp≈CpdC_p \approx C_{pd}，因此可以近似为

dT≈−gcpd⋅dzdT \approx - \frac{g}{c_{pd}} \cdot dz

所以 γd≈0.98(K/100m)\gamma_d \approx 0.98(K/100m)

位温

把空气块干绝热膨胀或压缩到标准气压时应该有的温度。用θ\theta表示，其定义式为

θ=T(p00p)κ\theta = T \left(\frac{p_{00}}{p}\right)^{\kappa}

其中 p00p_{00} 为标准气压，κ=R/cp\kappa = R/c_p。

θ\theta 的守恒性

两边取对数：

dθθ=dTT−κdpp\frac{d \theta}{\theta} = \frac{dT}{T} - \kappa \frac{dp}{p}

对热流量方程，两边同时除以 cpTc_p T，则有：

dQcpT=dTT−Rcpdpp\frac{dQ}{c_p T} = \frac{dT}{T} - \frac{R}{c_p} \frac{dp}{p}

将上式与位温的定义式进行比较，可以发现：

dθθ=dQcpT\frac{d\theta}{\theta} = \frac{dQ}{c_pT}

由上式可以的出，空气块吸热，位温增加；放热位温降低，干绝热过程是等熵过程，位温保持不变，即干绝热过程中 θ\theta 是守恒量。

位温垂直分布与大气垂直减温率

1θ∂θ∂z=1T(∂T∂z−κT1p∂p∂z)=−1TΓ+1Tγv∂θ∂z≈θT(γv−Γ)\begin{align*}\frac{1}{\theta} \frac{\partial \theta}{\partial z} &= \frac{1}{T} \left( \frac{\partial T}{\partial z} - \kappa T \frac{1}{p} \frac{\partial p}{\partial z} \right) \\&=- \frac{1}{T} \Gamma + \frac{1}{T} \gamma_v\\\frac{\partial \theta}{\partial z} &\approx \frac{\theta}{T} \left( \gamma_v - \Gamma \right)\end{align*}

其中 Γ=−∂T∂z\Gamma = - \frac{\partial T}{\partial z} 称为大气温度直减率。因此，位温的垂直变化率是和 γd−Γ\gamma_d - \Gamma 成正比的。在对流层内，一般情况下大气垂直减温率 Γ>γd\Gamma > \gamma_d，所以 ∂θ∂z>0\frac{\partial \theta}{\partial z} > 0，即位温随高度增加而增加，

大气中的湿绝热过程

可逆湿绝热过程

水汽相变产生的水成物不脱离原气块，始终跟随气块上升或者下降，所释放的潜热也全部保留在气块内部。这种过程称为可逆湿绝热过程，也称为湿绝热过程。

可逆饱和湿绝热过程可以用一个等熵过程来表示，也就是 ds=0ds = 0

干空气的熵：

dsd=cpddln⁡T−Rddln⁡pdd s_d = c_pd d \ln T - R_d d \ln p_d

假绝热过程

水汽相变产生的水成物全部脱离气块，但所释放的潜热仍留在气块内。这种过程称为假绝热过程。

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气块模型

指宏观上足够小而微观上又大到含有大量分子的封闭空气团，其内部可以包含水汽、液态水和固态水。
此气块内 云的宏观特征

云雾总的特征，即作为整体看的许多特征称作宏观特征。它包括了云的外形、水平伸展、垂直伸展、生命史、
云中温度场、气流场、含水量场等特征。在云雾物理里常只把云中粒子的大小分布和相态结构特征称做微观特征。

云和云系的尺度

从宇宙中看到的地球主要由云和云系所覆盖，这也正是初卫星云图名称的由来。云由水汽凝结形成，而水汽的凝结往往又是对大气动力过程的响应，这些过程包括大范围的垂直运动、对流和混合等。因此，诸如稳定度、辐合、锋面和气旋等动力因素均影响到云的形态和结构。但这并不意味着云仅仅是大气运动的伴随产物，实际上云本身也通过潜热释放、大气中水和水汽的再分配、改变大气中长短波辐射传输等物理过程而影响大气运动。简而言之，云受大气动力过程控制，但对任何大气动力过程的深入研究都必须包括云的过程。

从卫星所拍摄的地球照片上可以看到，有组织的云系覆盖范围能够达到几百甚至几千公里，覆盖了地球表面十分之六的面积。这些云系主要与锋面系统相伴随的地面低压中心和大的地形特征相配合。它们或随着气压场移动，或在某一地区维持，其存在时间可长达数日。
组成云体的单个云滴或冰通过凝结等过程产生，通过蒸发或降水等过程而消失，存在时间很短。云体或云系的持续存在是由新的云粒子的不断生成维持的。这一过程可以想像成云粒子的波动或扰动，它向着新粒子生成的区域传播，也就是说新粒子生成的方向不一定沿着风向。当然，单个云滴、冰或降水粒子运动速度是由环境空气流速和其自身的下落速度相加而得到的速度和决定的。
根据云的形状和尺度差异，一个云系常由一些清晰可辨的不同性质的云体组成，它们的线性尺度可在 1 到 100km的范围，时间尺度可在数分钟至数小时。
为了方便起见，大气科学常把各种大气现象按尺度大小分类。对云同样可按该方法进行分类：

  • 大尺度、天气尺度（≥1000km\geq 1000km）：与温带气旋和锋面伴随的云系；
  • 中尺度（1km∼1000km1km \sim 1000km）：主要的云体和云系均在此尺度范围；
  • 小尺度（≤1km\leq 1km）：小而短时存在的云缕、积云中可分辨的小塔状云、小的不规则状云、伴随云滴生消的微物理过程等

云态分类

根据从地面所看到的云的形态对云进行分类，最早是由英国的药剂师 Luke Howard 在 1803 年提出。

他把云按形态分为四类：

  • 积云（cumulus: Cu）:垂直方向发展的云;
  • 层云（stratus: St）:水平方向伸展的云;
  • 卷云（cirrus: Ci）:纤维、丝缕状的云;
  • 雨云（nimbus: Nb）;

完整的国际分类包括了多的云类，一些由这四种分类组合的云类，如卷积云、雨层云等，一些由对云存在的高度进行的划分，如高层云等，还有一些给出了去的发展特征，如淡积云、浓积云等。

使空气饱和的主要过程是降温，其中又以上升膨胀冷却为主。上升膨胀冷却形成云的过程又可以分为热力性和动力性两类：热力性主要表现为对流，包括地面局部受热增温、气层上部冷却或下部增温等过程，形成对流性云，包括积云、积雨云、镶嵌状云、堡状云、密卷云等；动力性主要是稳定空气强迫抬升，如沿锋面、高压楔、山坡以及辐合上升，形成锋面云系、上坡雾、背风坡云等。两者可以互相转化，如热力上升的云可因上空稳定层阻挡而平衍为稳定性云，动力抬升的云可因潜热释放而产生对流。但一般而言，热力上升形成的多为积状云，包括动力激发热力不稳定成云，动力上升形成的多为层状云。

云内湿度环境

总体上在 98-102%之间，很少超过 102%的，而且过饱和率多于不饱和的。中值相对湿度约为 100.1%。
也有人在云的边缘测得相对湿度低到 70%，而在云的中心部可高达 107%。

  • 比含水量，或叫“质量含水量”，指每单位质量湿空气中所含固态或液态水的质量，常用单位为 g/kgg/kg 。类似于水汽含量中的“比湿”。
  • 含水量，或叫“体积含水量”，指每单位体积湿空气中所含固态或液态水的质量，常用单位为 g/m3g/m^3 。类似于水汽含量中的“绝对湿度”。

上升空气的“绝热比含水量”

空气团绝热上升达到饱和后，若继续上升，则超过饱和部分的水汽凝结出来，成为云中含水的部分。对于比含水量来说，在云底因水汽正好饱和，无多余水汽可凝结，故比含水量为零。
随着空气上升，出现过饱和状态，多余水汽凝结增加比含水量。考虑可逆湿绝热过程，凝结出的液水始终保持在气块内，那气块（云）的比含水量就会随着高度的增大而增大，直到其中水汽全部凝结出时，比含水量达到最大值，气块再上升，比含水量就保持不变了。对于气块不能达到使水汽全部凝结出时的高度，那么气块所能达到的最大高度便是比液水含量的最大值高度。

在此可逆过程中，气块下沉到一定高度处，其含水量与上升时该高度的含水量一致。
因此，可逆湿绝热过程中，空气因绝热膨胀冷却所凝结出的比含水量，称为“（湿）绝热比含水量”，或“饱和比含水量”。其值（qlzq_{lz}）应正好等于云底饱和比湿（qsbq_{sb}）与各高度饱和比湿（qszq_{sz}）之差。

仍然考虑湿绝热过程，由于比湿和绝对湿度的关系为：a=ρqa= \rho q，同样，绝热含水量 WazW_{az} 与绝热比含水量之间的关系为：

Waz=ρzqlzW_{az} = \rho_z q_{lz}

使用虚温：

Waz=pz(qsb−qsz)RdTz(1+0.608qsz)W_{az} = \frac{p_z(q_{sb} - q_{sz})}{R_d T_z(1 + 0.608q_{sz})}

上升空气块的绝热含水量随高度的变化规律为:

dWazdz=ρzdqlzdz+qlzdρzdz\frac{d W_{az}}{dz} = \rho_z \frac{dq_{lz}}{dz} + q_{lz}\frac{d\rho_z}{dz}

由于 dqlzdz>0\frac{dq_{lz}}{dz} > 0，而 dρzdz<0\frac{d\rho_z}{dz} < 0，因此 WazW_{az} 随高度的变化决定于上式右端两项绝对值的大小差异。据对实际大气中的计算表明：在较低高度：式右端第一项绝对值大于第二项绝对值，所以 WazW_{az} 随高度增加。在较高高度：式右端第一项绝对值小于第二项绝对值，所以 WazW_{az} 随高度减小。因此，在气块上升过程中，存在一个绝热含水量的最大值高度，在此高度，式右端两项绝对值相等。随着云底温度的降低，WazW_{az} 最大值出现的高度降低。设云底在 900hPa，当云底温度为 20°C，WazW_{az} 最大值出现在 8km 高度；当云底温度为-5°C，WazW_{az} 最大值出现在 4.5km 高度就地冷却气层的含水量 < WazW_{az}。

云内实际含水量

云内实际含水量≤可逆湿绝热过程中的理论含水量 WazW_{az}，并受多种因素影响。云水实际含水量主要受以下几个因素制约：

  • 在云的上升气流区中心，含水量可能接近 WazW_{az}，愈远离上升气流区，含水量愈小，而在云的边缘，由于云内外乱流扩散或挟卷作用，含水量可远比 WazW_{az} 小。云中的下沉气流区，以及与干空气混合的区域，由于固液质粒的蒸发，使含水量减小。在降水的地方，当雨雪粒子下降速度随高度降低而减小时，出现降水质量的垂直辐合，含水量会大于 WazW_{az}；反之降水质量辐散的区域，含水量会较小。
  • 云厚与云底温度也与云内含水量有关，大体上云层愈厚、云底温度愈高，则其平均含水量及最大含水量都愈大。
]]> https://www.keitsuki.top/posts/5649eff7/ 2026-03-15T16:16:43.000Z 云的宏观特征

云雾总的特征，即作为整体看的许多特征称作宏观特征。它包括了云的外形、水平伸展、垂直伸展、生命史、
云中温度场、气流场、含水量场等特征。在云雾物理里常只把云中粒子的大小分布和相态结构特征称做微观特征。

<]]> 云降水和大气物理学（三） 2026-04-12T07:40:05.509Z 若木 露点温度

露点温度 TdT_d是在水汽含量不变、只靠降温的情况下，使空气恰好达到饱和时的温度。所以推导的核心条件是：

e=E(Td)e = E(T_d)

其中：

  • ee 为实际水汽压
  • E(Td)E(T_d) 为饱和水汽压
  • TdT_d 为露点温度

让我们从定义出发，对一团未饱和空气，当前温度为 TT，实际水汽压为 ee。如果只降温、不增减水汽，那么在降温过程中, ee 近似不变，饱和水汽压 ETdE_{T_d} 会随着温度的降低而减小。当降到某个温度 TdT_d 时，e=ETde = E_{T_d}，此时 TdT_d 就是露点温度。

采用CC方程近似

CC 方程：

dEdT=LvERvT2\frac{dE}{dT} = \frac{L_v E} {R_vT^2}

积分得到

E(T)=e0exp⁡(LvR(1T0−1T))E(T) = e_0 \exp\left(\frac{L_v}{R}(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T})\right)

带入 TdT_d，取对数：

ln⁡EE0=LvRv(1T0−1Td)\ln{\frac{E}{E_0}} = \frac{L_v}{R_v}(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T_d})

于是：

Td=[1T0−RvLvln⁡ee0]−1T_d = \left[\frac{1}{T_0} - \frac{R_v}{L_v}\ln{\frac{e}{e_0}}\right]^{-1}

使用 Magnus 方程

工程和气象里经常采用：

E(T)=6.112 ×exp⁡aTb+TE(T) = 6.112\ \times \exp{\frac{aT}{b+T}}

这里 TT 用摄氏度，常取：

a=17.67a = 17.67

b=243.5b = 243.5

通过 相对湿度定义：

e=RH100×E(T)e = \frac{RH}{100} \times E(T)

而露点满足 e=E(Td)e = E(T_d)

6.112×exp⁡aTdb+Td=RH100×6.112×exp⁡aTb+T6.112 \times \exp{\frac{aT_d}{b+T_d}} = \frac{RH}{100} \times 6.112 \times \exp{\frac{aT}{b+T}}

约分取对数：

aTdb+Td=ln⁡RH100+aTb+T\frac{aT_d}{b+T_d} = \ln{\frac{RH}{100}} + \frac{aT}{b+T}

整理得到：

Td=b[ln⁡(RH/100)+β]a−[ln⁡(RH/100)+β]T_d = \frac{b [\ln{(RH/100)} + \beta]}{a - [\ln{(RH/100)} + \beta]}

其中：

β=aTb+T\beta = \frac{aT}{b+T}

凝结高度 (Condensation Level)

在上升过程中，由于气块温度不断降低，并且干绝热递减率比气块露点温度递减率要快得多，因而气块的温度露点差逐渐减小，以致气块最终达到饱和。当气块达到饱和时，常常产生凝结现象。把气块开始出现凝结现象的距地高度定义为凝结高度(zcz_c)

  • 起始凝结高度：气块上升冷却，水汽开始凝结的高度。
  • 继续凝结高度：气块继续上升，水汽持续凝结的高度。

凝结高度按产生的原因可分为三类：

  • 抬升凝结高度：稳定的湿空气被抬升绝热膨胀冷却，其中水汽开始发生凝结的高度。
  • 对流凝结高度：湿空气由于底部受热发生对流，其上升空气因绝热冷却开始发生凝结的高度。
  • 乱流凝结高度：稳定的空气流到地面摩擦较大的地区，上下气层发生乱流混合，从而使混合层上部发生降温增湿现象，当充分的水汽时，就会出现凝结，凝结层下限高度称为乱流凝结高度。
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露点温度 <]]>

云降水和大气物理学（二） 2026-04-12T07:40:05.509Z 若木 态函数

态函数是仅由系统的当前平衡状态决定的物理量，而与其达到该状态的具体路径无关。例如温度、压力、密度、内能、焓、熵等都是态函数。

对于态函数 FF，其微元 dFdF 是全微分。这意味着在状态空间中，沿闭合路径的积分恒为零：

∮dF=0\oint dF = 0

而功 (ww) 和 热量 (qq) 不是态函数，它们被称为过程量。想象一个气块从地面上升到 500hPa。无论它是通过快速的对流上升（绝热），还是缓慢的平流抬升（伴随辐射交换），其最终的温度和气压只要确定了，其内能改变量 Δu\Delta u 就是相同的。但是，在不同路径下，气块对外做的功和吸收的热量可能截然不同。

熵

从宏观热力学角度，熵是一个态函数，描述系统交换热量时状态的变化。对于一个可逆过程，比熵（单位质量的熵）的增量定义为：

ds=dqrevTds = \frac{dq_{rev}}{T}

这意味着，当气块吸收热量时，dq>0dq > 0，气块的熵增加；反之，当气块冷却时，熵减少。

S−S0=∫x0xdqrevTS - S_0 = \int_{x_0}^{x} \frac{dq_{rev}}{T}

热力学第二定律的数学表达形式就是：

SB−SA≥∫ABdqTS_B - S_A \geq \int_{A}^{B} \frac{dq}{T}

而如果是绝热过程，则有：

SB−SA≥0S_B - S_A \geq 0

这被称为熵增原理。对于一个孤立系统，其熵永不减少。在自然过程中，熵总是增加的，只有在理想的可逆过程中，熵才保持不变。

焓

定义是

H=U+PVH = U + PV

它的物理意义就是在等压过程中，系统吸收的热量。或者说，系统内能的增加量等于系统吸收的热量减去系统对外做的功。

根据热力学第一定律 dQ=dU+PdVdQ = dU + PdV，我们对焓进行全微分

dH=dU+PdV+VdPdH = dU + PdV + VdP

带入第一定律，我们得到：

dH=dQ+VdPdH = dQ + VdP

在等压过程（dP=0dP = 0）中，上式简化为：

dH=dQdH = dQ

由于约束条件（等压）限制了路径，使得该特定路径下的过程量 QQ 仅取决于始末状态。

而定压比热容 CpC_p 定义为：

Cp=(∂H∂T)pC_p = \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_p

热容量和焓

热量时在过程中传递的一种能量，是与过程有关的。一个系统在某一个过程中温度升高1K，吸收的热量，称作系统在该过程的热容量。

  • 对于等容过程，外界对系统不做功，因此 Q=UQ=U，所以：

Cv=lim⁡ΔT→0ΔUΔT=(∂u∂T)vC_v = \lim_{\Delta T \to 0} \frac{\Delta U}{\Delta T} = \left( \frac{\partial u}{\partial T} \right)_v

  • 对于等压过程，外界对系统做功 W=−pΔVW = -p \Delta V, Q=ΔU+W=ΔU+pΔVQ = \Delta U + W = \Delta U + p \Delta V，所以：

Cp=lim⁡ΔT→0(ΔQΔT)p=lim⁡ΔT→0(ΔU+pΔVΔT)p=(∂U∂T)p+p(∂V∂T)pC_p = \lim_{\Delta T \to 0} \left(\frac{\Delta Q}{\Delta T}\right)_p = \lim_{\Delta T \to 0} \left( \frac{\Delta U + p \Delta V}{\Delta T} \right)_p = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_p + p \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p

根据焓的定义可知：

Cp=(∂H∂T)pC_p = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p

对于理想气体，结合理想气体状态方程：

H=U+pV=U+RTH = U + pV = U + RT

Cp−Cv=RC_p - C_v = R

亥姆霍兹自由能

F=U−TSF = U - TS

亥姆霍兹自由能描述的是在温度 (TT) 和体积 (VV) 保持不变时，系统所能做的最大功。

StateA→StateBState_A \to State_B

SB−SA≥QTS_B - S_A \geq \frac{Q}{T}

SB−SA≥UB−UA−WT→FA−FB≥−WS_B - S_A \geq \frac{U_B-U_A-W}{T} \rightarrow F_A - F_B \geq -W

在等温过程中，系统对外所做的功不大于其自由能的减少。或者说，在等温过程中，外界从系统所能获得的功最多只能等于系统自由能的减少。

吉布斯自由能

G=H−TSG = H - TS

完全可以类似上面的讨论，可以得到

SB−SA≥UB−UA+p(VB−VA)−W1TS_B - S_A \geq \frac{U_B - U_A + p(V_B-V_A) - W_1} {T}

GA−GB≥−W1G_A - G_B \geq -W_1

若系统的体积不变，即 W1=0W_1 = 0，则有：

ΔG=GB−GA≤0\Delta G = G_B -G_A \leq 0

在等温等压的过程中，系统吉布斯自由能永不增加。也就是说，在等温等压的过程中，系统总是向着吉布斯自由能减小的方向进行。

麦克斯韦关系

麦克斯韦关系是热力学中一套极其优美的对称方程，本质上是将那些难以直接测量的物理量（如熵 ss）转化为易于测量的物理量（如温度 TT、压力 pp、体积 vv）的偏导数关系。

它的数学核心时全微分的对易性，即对于一个函数 f(x,y)f(x,y)，其全微分 dfdf 可以写成：

df=M(x,y)dx+N(x,y)dydf = M(x,y)dx + N(x,y)dy

则有：

∂M∂y=∂N∂x\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

先考虑最常见的情形：单组分、封闭、简单可压缩系统。此时不考虑粒子数变化、表面功、电磁功等额外项。

一

热力学第一定律写成微分形式：

dU=δQ−δWdU = \delta Q - \delta W

若过程是可逆准静态过程，有

δQrev=TdS\delta Q_{rev} = TdS

δWrev=pdV\delta W_{rev} = pdV

于是

dU=TdS−pdVdU = TdS - pdV

这是最核心的基本式。它说明：

U=U(S,V)U = U(S,V)

也就是说，内能可以看作熵 SS 和体积 VV 的函数。

dU=(∂U∂S)VdS+(∂U∂V)SdVdU = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V dS + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S dV

对比系数可得，

(∂U∂S)V=T(∂U∂V)S=−p\begin{align*}\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V &= T \\\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S &= -p\end{align*}

现在对第一式再对 VV 求偏导，对第二式再对 SS 求偏导：

∂∂V(∂U∂S)V=(∂T∂V)S\frac{\partial}{\partial V}\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V = \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S

∂∂S(∂U∂V)S=−(∂p∂S)V\frac{\partial}{\partial S}\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V

由于混合偏导相等，

∂2U∂V∂S=∂2U∂S∂V\frac{\partial^2 U}{\partial V \partial S} = \frac{\partial^2 U}{\partial S \partial V}

所以得到第一条麦克斯韦关系：

(∂T∂V)S=−(∂p∂S)V\boxed{\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V}

二

焓 HH 定义为 H=U+pVH = U + pV，微分形式：

dH=dU+pdV+Vdp=TdS+pdV+VdpdH = dU + pdV + Vdp = TdS + pdV + Vdp

dH=TdS+VdpdH = TdS + Vdp

这说明

H=H(S,p)H = H(S,p)

于是按照全微分写法：

dH=(∂H∂S)pdS+(∂H∂p)SdpdH = \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_p dS + \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S dp

对比得

(∂H∂S)p=T(∂H∂p)S=V\begin{align*}\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_p &= T \\\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S &= V\end{align*}

再利用混合偏导相等：

∂2H∂V∂S=∂2H∂S∂V\frac{\partial^2 H}{\partial V \partial S} = \frac{\partial^2 H}{\partial S \partial V}

所以得到第二条麦克斯韦关系：

(∂T∂p)S=(∂V∂S)p\boxed{\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_S = \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_p}

三

由亥姆霍兹自由能 F(T,V)F(T,V) 推出

F=U−TSF = U - TS

求微分：

dF=dU−TdS−SdTdF = dU - TdS - SdT

带入 dU=TdS−pdVdU = TdS - pdV，得

dF=−pdV−SdTdF = -pdV - SdT

这说明

F=F(T,V)F = F(T,V)

于是按照全微分写法：

dF=(∂F∂T)VdT+(∂F∂V)TdVdF = \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V dT + \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T dV

对比系数，取混合偏导

∂2F∂V∂T=∂2F∂T∂V\frac{\partial^2 F}{\partial V \partial T} = \frac{\partial^2 F}{\partial T \partial V}

所以得到第三条麦克斯韦关系：

(∂p∂T)V=(∂S∂V)T\boxed{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T}

四

吉布斯自由能 G(T,p)G(T,p) 推出

定义

G=H−TS=U+pV−TSG = H - TS = U + pV - TS

dG=dH−TdS−SdT=TdS+Vdp−TdS−SdT=Vdp−SdTdG = dH - TdS - SdT = TdS + Vdp - TdS - SdT = Vdp - SdT

这说明

G=G(T,p)G = G(T,p)

于是按照全微分写法：

dG=(∂G∂T)pdT+(∂G∂p)TdpdG = \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p dT + \left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T dp

对比系数，取混合偏导

∂2G∂p∂T=∂2G∂T∂p\frac{\partial^2 G}{\partial p \partial T} = \frac{\partial^2 G}{\partial T \partial p}

所以得到第四条麦克斯韦关系：

(∂S∂p)T=−(∂V∂T)p\boxed{\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p}

]]> https://www.keitsuki.top/posts/22404bfd/ 2026-03-15T09:02:13.000Z 态函数

态函数是仅由系统的当前平衡状态决定的物理量，而与其达到该状态的具体路径无关。例如温度、压力、密度、内能、焓、熵等都是态函数。

对于态函数 描述了单组分系统在相平衡（如液滴与环境水汽平衡）时，饱和水汽压（ese_s）随温度（TT）变化的速率。其基本形式为：

desdT=LT(v2−v1)\frac{de_s}{dT} = \frac{L}{T(v_2 - v_1)}

克劳修斯-克拉伯龙方程的推导

推导的核心起点是吉布斯自由能（Gibbs Free Energy）。单位物质的吉布斯函数通常称为化学势，用 μ\mu 表示。

μ=u+pα−Ts\mu = u + p\alpha - Ts

dμ=−sdT+αdpd \mu = -s dT + \alpha dp

其中：

  • uu 为单位物质的内能
  • pp 为压力
  • α\alpha 为单位物质的体积
  • TT 为温度
  • ss 为单位物质的熵

根据热力学理论，当水和水汽两相平衡时，必须满足热平衡条件、力学平衡和相变平衡：

T1=T2=Tp1=p2=pμ1=μ2\begin{align*}T_1 = T_2 = T\\p_1 = p_2 = p\\\mu_1 = \mu_2\end{align*}

当沿着相平衡曲线由 (T,p)(T,p) 移动到 (T+dT,p+dp)(T+dT, p+dp) 时，两相的化学势必须保持相等：

dμ1=dμ2d\mu_1 = d\mu_2

代入 dμd\mu 的表达式：

−s1dT+α1dp=−s2dT+α2dp-s_1 dT + \alpha_1 dp = -s_2 dT + \alpha_2 dp

整理得到：

(s2−s1)dT=(α2−α1)dp(s_2 - s_1)dT = (\alpha_2 - \alpha_1)dp

dpdT=s2−s1α2−α1\frac{dp}{dT} = \frac{s_2 - s_1}{\alpha_2 - \alpha_1}

其中：

  • s2−s1s_2 - s_1 为相变潜热 LL 除以温度 TT：

L=T(s2−s1)L = T(s_2 - s_1)

  • α2−α1\alpha_2 - \alpha_1 为相变体积差 Δα\Delta \alpha：

Δα=α2−α1\Delta \alpha = \alpha_2 - \alpha_1

于是得到克劳修斯-克拉伯龙方程：

dpdT=LTΔα\frac{dp}{dT} = \frac{L}{T\Delta \alpha}

饱和水汽压的计算

对于水和水汽的平衡，有：

desdT=LvT(vv−vl)\frac{de_s}{dT} = \frac{L_v}{T(v_v - v_l)}

其中：

  • ese_s 为饱和水汽压
  • LvL_v 为水汽的汽化潜热
  • vvv_v 为水汽的单位体积
  • vlv_l 为液态水的单位体积

由于 vv≫vlv_v \gg v_l，可以忽略 vlv_l：

desdT=LvTvv\frac{de_s}{dT} = \frac{L_v}{T v_v}

根据理想气体状态方程：

vv=RvTesv_v = \frac{R_v T}{e_s}

代入上式：

desdT=LvesRvT2\frac{de_s}{dT} = \frac{L_v e_s}{R_v T^2}

整理得到：

deses=LvRvT2dT\frac{de_s}{e_s} = \frac{L_v}{R_v T^2} dT

积分得到：

ln⁡es=−LvRvT+C\ln e_s = -\frac{L_v}{R_v T} + C

其中 CC 为积分常数，可以通过实验数据确定。

]]> https://www.keitsuki.top/posts/3ee27a6a/ 2026-03-14T15:45:46.000Z 描述了单组分系统在相平衡（如液滴与环境水汽平衡）时，饱和水汽压（ 克劳修斯——克拉伯龙方程 2026-04-12T07:40:05.509Z 若木 水汽饱和条件

f=eEf = \frac{e}{E}

ln⁡f=ln⁡e−ln⁡E\ln{f} = \ln{e} - \ln{E}

dff=dee−dEE\frac{df}{f} = \frac{de}{e} - \frac{dE}{E}

其中，ee 为实际水汽压，EE 为饱和水汽压，ff 为相对湿度。
平面水面的饱和水汽压与温度的关系，可以使用克劳修斯——克拉伯龙方程

dEdT=LvERvT2\frac{dE}{dT} = \frac{L_{v}E}{R_vT^2}

其中 EE 为饱和水汽压，TT 为绝对温度，LvL_v 为汽化潜热，RvR_v 为水汽比气体常数，RvR_v 为水汽比气体常数。

dff=dee−LvRvT2dT\frac{df}{f} = \frac{de}{e} - \frac{L_{v}}{R_vT^2} dT

可见，增大相对湿度两个途径：增加水汽（de>0de>0）和降温（dT<0dT<0）。一般，大气中形成自然云雾，主要通过空气上升运动绝热膨胀降温，另外夜间辐射冷却也可形成局地云雾，当然局地增加水汽含量的作用也不能忽略，对于维持一个地区上空的连续降水，必须有水汽的汇流不断输入补充。

大气中主要降温的过程

大气降温不仅可促进云的形成，而且是形成云的直接原因。降温过程分为绝热降温和非绝热将为两种，其中非绝热降温包括辐射、水平混合，垂直混合、相变、平流、挟卷。绝热降温是由于空气上升运动，

绝热（上升膨胀冷却）

由于地球重力作用，大气对地面产生压力，形成气压随高度增加而递减的分布，当空气在大气中垂直运动，空气产生膨胀或压缩。对上升的气块来说，膨胀做功冷却。对下沉的气块来说，压缩做功增温。

根据热力学第一定律：

ΔU=Q−W\Delta U = Q - W

其中 UU 为内能，QQ 为热量，WW 为功。

如果绝热状态下，Q=0Q = 0，则：

ΔU=−W\Delta U = -W

对于单位质量的空气，其内能为：

U=CvTU = C_v T

dU=CvdTdU = C_v dT

其中 cvc_v 为干绝热比热容，TT 为绝对温度。

pV=RTpV = RT

根据 Cp−Cv=RC_p - C_v = R（CpC_p 为定压比热容，CvC_v 为定容比热容，RR 为气体常数），可得：

CpdT=vdpC_p dT = vdp

根据理想气体方程：

pV=RTpV = RT

可得到：

dT=RTpCpdpdT = \frac{RT}{pC_p}dp

或者：

dT=RCpTdppdT = \frac{R}{C_p}T\frac{dp}{p}

分离变量，并且积分：

∫T0TdTT=RCp∫p0pdpp\int_{T_0}^{T} \frac{dT}{T} = \frac{R}{C_p}\int_{p_0}^{p} \frac{dp}{p}

ln⁡TT0=RCpln⁡pp0\ln{\frac{T}{T_0}} = \frac{R}{C_p}\ln{\frac{p}{p_0}}

我们可以得到泊松方程：

TT0=(pp0)RCp\frac{T}{T_0} = (\frac{p}{p_0})^{\frac{R}{C_p}}

如果我们对高度微分，同时利用静力平衡方程 dpdz=−ρg\frac{dp}{dz} = -\rho g，可得：

dTdz=−gCp\frac{dT}{dz} = -\frac{g}{C_p}

这就是干绝热递减率。对于干空气，干绝热递减率约为 9.8×10−3 K/m9.8 \times 10^{-3} \ \mathrm{K/m}。

乱流降温

湍流运动所产生的各种物理量通量，使得属性的属性重新分布。例如湿度高度分布将变得均匀化，温度层结趋向于干绝热递减率，这种过程在合适的条件下将导致乱流层上部降温增湿，这种过程有利于云雾在逆温层底形成。与此相反，气层的下部将变得暖而干。

当一个气层存在强烈的湍流时，气块在垂直方向上频繁交换。根据保守量原则：

  • 位温（θ\theta）的均匀化：由于湍流运动是绝热的，气块上下移动时位温保持不变。充分混合后，整个气层的位温趋于一致（∂θ/∂z≈0\partial \theta / \partial z \approx 0）。在 T−log⁡PT-\log P 图上，这表现为温度层结线平行于干绝热线。
  • 比湿（qq）的均匀化：水汽随气块垂直搬运，最终使气层内各高度的水汽含量趋于平均。

平流降温

气流把空气输送到温度较低的区域产生平流冷却，决定于风矢量和水平温度梯度的夹角。

辐射降温

空气中主要辐射体 水汽、二氧化碳和臭氧产生长波辐射冷却，自由大气中长波辐射冷却率可达到1-3K每天，而加热率仅约为 0.6K 每天，因此自由大气处于净冷却状态，

相变降温

当未饱和空气等压地移经散布云雾滴或者雪花的空间，或者流经水面、雪面时，一方面吸收从那里政法或升华的水汽，增大自己的湿度；另一方面由于水或冰的汽化，使得本身的一部分热量转化为潜热，使温度下降。这种因为相变而消耗热量从而降温的现象，称为相变降温。如极地海烟和秋冬大陆湖泊上的蒸汽雾。

水平混合降温

当未饱和空气水平混合后，对暖空气而言是降温的，混合后的比湿和温度质量加权平均，有可能达到过饱和而凝结，但这一过程要求二气块有很高的湿度和很大的温差。

挟卷降温

如果不考虑上升，挟卷降温实际上就是水平混合冷却的一种特殊形式。形成挟卷的主要原因是云中上升空气速度随高度增加时，出现速度辐散，促使周围的环境空气向内辐合，从而形成挟卷。或者，云边缘由于湍流运动，也有空气从周围进入云内的上升气流，由于环境空气湿度小、温度低、混合后，云内空气温度下降，湿度由饱和变成不饱和，蒸发进一步降温。

以上七种降温机制在实际大气过程中，往往一次过程中，几种降温机制在共同作用。 一般讲，使空气过到饱和的过程中，降温作用比增加水汽更重要，降温作用中又以上升膨胀降温更为重要。

而理解克劳修斯——克拉伯龙方程非常重要，它揭示了水汽压与温度的关系，是理解云降水物理的基础。后面将会详细介绍。

]]> https://www.keitsuki.top/posts/401cac36/ 2026-03-14T09:16:51.000Z 水汽饱和条件

David Tao!

昨天晚上做了個夢 我走進撒哈拉沙漠。
空無一人 站在太陽下。
攝氏六十六點六度 快要焚化我的眼珠。
忽然一場大雨降下來。
汗水被那雨水沖走 結束四十天的折磨。
荒漠一轉變成了綠洲。
彩虹下有一棵大樹 大樹上有一顆蘋果。
咬下一口 我就全明白。
可不可以讓我再 讓我再一次 回到那個美麗世界裡。
找自己。
...

]]> https://www.keitsuki.top/posts/1c196f9c/ 2024-04-03T06:06:25.000Z David Tao!
找自己 2026-04-12T07:40:05.501Z 若木 随着对函数式语言的兴趣日渐浓厚，我对设计一门编程语言的冲动也越来越强烈。这个过程非常的艰难，需要大量的基础知识作为铺垫，其中非常重要的部分——类型系统尤为复杂。我从一些博文中了解到了Hindley-Milner类型系统、Algorithm W 和 Algorithm J等等知识，并试图整理出来一条脉络以供日后使用。

在这篇博客中，我将会通过一个例子展示Hindley-Milner类型系统，并通过Haskell完成实现。

Language

在这里，给出我们将要设计的语言的样子，它包括基础的变量，lambda表达式，基础类型，let 绑定，if表达式，二元操作符等等。目前它被设计的足够精简。

{- Expressions -}abc                -- Variableif a then b else c -- If-expression\x -> y : a -> b   -- Abstractionf x                -- Applicationlet a = b in c     -- Let-binding123456789 : Int    -- IntegerTrue, False : Bool -- Booleanx + y              -- Integer additionx - y              -- Integer subtraction
如果写着 $a:T$ ，这代表 $a$ 是 $T$ 类型

Syntax Representation

定义一些数据结构来表示我们设计的语言（启用 PatternSynoyms 拓展）。

首先给出一个类型别名用来表示符号名

{-# Language PatternSynonyms #-}type Name = String

然后定义一个Expr 结构用来表示在 Language 中提到的表达式

data Expr= EVar Name| EIf Expr Expr Expr| EAbs Name Expr| EApp Expr Expr| ELet Name Expr Expr| EInt Integer| EBool Bool| EBin Oper Expr Exprderiving Show

然后定义一个结构用来表示操作符

data Oper = Add | Sub deriving Show

接下来就是用于表示 “类型” 的结构，TCon是具体类型，例如Int，Bool或者List Char等等。TVar是类型变量，是具体类型的占位符

newtype TVar = TV Name deriving (Eq, Show)data Type= TCon Name [Type]| TVar TVarderiving (Eq, Show)

同时我们定义一些内置类型，在这里用到了PatternSynoyms提供的能力。

pattern TInt = TCon "Int" []pattern TBool = TCon "Bool" []pattern a :-> b = TCon "->" [a, b]

The Type System

在完成前置准备后，我们就可以来了解Hindley-Milner 类型系统了。

从根本上说，类型推断就是沿着抽象语法树逐级下降，为每个表达式分配新的类型变量，并根据可用信息生成一组约束(Constraint)的过程。之后，对这组约束条件进行求解（就像求解方程组一样），就会产生一个替换。这种替换将把每个生成的类型变量映射到推断出的主类型。解决约束的过程称为统一(Unification)。(主类型或多或少是表达式的最一般类型，即表达式的任何其他可能类型都是主类型的实例）。

Hindley-Milner 类型系统是由一系列推理规则定义的：

x:σ∈ΓΓ⊢x:σΓ⊢e_1:τ_1→τ_2  Γ⊢e_2:τ_1Γ⊢e_1e_2:τ_2Γ,x:τ_1⊢e:τ_2Γ⊢λx.e:τ_1→τ_2Γ⊢e_1:σ   Γ,x:σ⊢e_2:τΓ⊢let x=e_1  in  e_2:τΓ⊢e:σ   αˉ∉ftv(Γ)Γ⊢e:∀αˉ.σΓ⊢e:σ_1   σ_1⊑σ_2Γ⊢e:σ_2\begin{gather*}\frac{x:\sigma \in \Gamma}{\Gamma \vdash x:\sigma}\\\\\\\\\frac{\Gamma \vdash e\_1:\tau\_1 \rightarrow \tau\_2\ \ \Gamma \vdash e\_2:\tau\_1}{\Gamma \vdash e\_1e\_2:\tau\_2}\\\\\\\\\frac{\Gamma, x: \tau\_1 \vdash e:\tau\_2}{\Gamma \vdash \lambda x.e:\tau\_1 \rightarrow \tau\_2}\\\\\\\\\frac{\Gamma \vdash e\_1:\sigma \ \ \ \Gamma,x:\sigma \vdash e\_2:\tau}{\Gamma \vdash let\ x = e\_1\ \ in\ \ e\_2:\tau }\\\\\\\\\frac{\Gamma \vdash e:\sigma \ \ \ \bar{\alpha} \not\in ftv(\Gamma)}{\Gamma \vdash e:\forall \bar{\alpha}.\sigma }\\\\\\\\\frac{\Gamma \vdash e:\sigma\_1 \ \ \ \sigma\_1\sqsubseteq \sigma\_2}{\Gamma \vdash e:\sigma\_2}\\\\\end{gather*}

如果你之前没有接触过推理规则，它对你来说可能看起来像是外星语言。实际上，它们非常简单；在这种符号中，水平线上方的是假设，下方的是结论。

Γ\Gamma 代表上下文信息，而⊢\vdash代表断言或者证明，σ\sigma通常表示多态类型、τ\tau 代表单态类型。

每条上述规则描述了我们如何处理我们语言的一部分。前四个是：变量、函数应用、函数抽象和let绑定。之后我们将讨论最后两个：泛化和实例化。

让我们尝试解析第一个规则。假设 x:σ∈Γx: \sigma \in \Gamma 是 x 在 Γ\Gamma 的上下文中属于 σ\sigma 类型。由此得出的结论 (Γ⊢x:σ\Gamma \vdash x: \sigma) 是：在 Γ\Gamma 中，可以断言 x 是 σ\sigma 类型。这条规则听起来可能有点傻，但它很重要，因为它向我们展示了如何使用上下文。（上下文也可以称为类型环境。）

第二个规则可能看起来更复杂，但其实同样简单。在 Γ\Gamma 中，如果有一个函数 e1e_1 将 τ1\tau_1 类型的值映射到 τ2\tau_2 类型的值 e1:τ1→τ2e_1: \tau_1 \rightarrow \tau_2，并且有一个表达式 e2e_2 属于 τ1\tau_1 类型，那么在 Γ\Gamma 中，应用 e1e_1 到 e2e_2 上会产生一个 τ2\tau_2 类型的结果。

Γ⊢e_1:τ_1→τ_2  Γ⊢e_2:τ_1Γ⊢e_1e_2:τ_2\frac{\Gamma \vdash e\_1:\tau\_1 \rightarrow \tau\_2\ \ \Gamma \vdash e\_2:\tau\_1}{\Gamma \vdash e\_1e\_2:\tau\_2}

在第三个规则中，假设是一个上下文 Γ\Gamma，再加上一个变量 x:τ1x: \tau_1，它断言 e:τ2e: \tau_2。结论是，一个接收 xx 并计算 ee 的函数 λx.e\lambda x.e 将会是 τ1→τ2\tau_1 \rightarrow \tau_2 类型 - 将 τ1\tau_1 类型的值映射到 τ2\tau_2 类型的值。

Γ,x:τ_1⊢e:τ_2Γ⊢λx.e:τ_1→τ_2\frac{\Gamma, x: \tau\_1 \vdash e:\tau\_2}{\Gamma \vdash \lambda x.e:\tau\_1 \rightarrow \tau\_2}

第四个规则向我们展示了如何处理let绑定。如果在 Γ\Gamma 中某个表达式 e1:σe_1: \sigma，并且在 Γ\Gamma 中加上一个同类型 σ\sigma 的变量 xx，断言有一个表达式 e2:τe_2: \tau，那么我们可以得出结论，绑定 x=e1x = e_1 并计算 e2e_2 会给我们一个 τ\tau 类型的表达式。

Γ⊢e_1:σ   Γ,x:σ⊢e_2:τΓ⊢let x=e_1  in  e_2:τ\frac{\Gamma \vdash e\_1:\sigma \ \ \ \Gamma,x:\sigma \vdash e\_2:\tau}{\Gamma \vdash let\ x = e\_1\ \ in\ \ e\_2:\tau }

现在，推理规则有了意义，你很可能想知道：如何利用这些信息进行类型推断？实际上相当简单。你所要做的就是逆向工作通过类型规则。给定一个表达式和一个与表达式匹配的结论（来自规则），你可以为未知类型的子表达式分配新的（未使用的）类型变量，并使用假设中的判断来对这些类型变量开发约束。如果这听起来不太明白，再想一想。一旦我们开始实现，这些应该会更有意义。

接下来是泛化和实例化的规则；但我们首先必须弄清楚多态和单态是什么。

Polymorphism and Monomorphism

多态性通常是指允许函数接受不同类型的输入。我们将要关注的多态类型被称为参数多态性。这只是泛型的一个高级名称。它与特设多态性（也称为重载）的不同之处在于，参数多态性函数必须以相同的方式处理每种类型的输入。参数多态性函数的一个简单例子是恒等函数。

λx.x:∀a.a→a\lambda x.x: \forall a.a \rightarrow a

类型变量 aa 是全称量化的。我们将用Type Schemes来表示这些多态类型（polytypes）。一般来说，如果一个类型包含类型变量，那么它就是一个 polytype。这个事实允许我们将包含类型变量的类型泛化为一个Scheme。为了展示我们为什么需要这样做，让我们考虑单态性。

单态性是多态性的对立面 - 一个单态函数只接受特定类型的输入。即使类型包含类型变量，类型推断也会使其在函数后续使用后归结为一个特定类型。例如：

let id = (\x -> x) in (id True)

当推断 id 的类型时，它被推断为 id : a -> a。然而，在 let 绑定的主体中，我们将其应用于一个布尔值。由于我们没有明确指出 id 应该是多态的，因此 id 的最终推断类型将变为 id : Bool -> Bool。而Scheme解决了这个问题，并推断出 id : \forall a. a -> a。

Generalization and Instantiation

泛化和实例化是 Hindley-Milner 类型系统中最重要的两个概念。泛化处理将单态（monomorphism）τ\tau 转换为多态类型（polytype）σ\sigma，方法是关闭 τ\tau 中所有自由类型变量的出现。关闭只是指移除任何自由变量，在数学中，自由变量是指在当前“范围”内未定义的变量。我们通过量化这些自由变量来移除它们的出现。

泛化的规则是：

Γ⊢e:σ  αˉ∉ftv(Γ)Γ⊢e:∀αˉ.σ\frac{\Gamma \vdash e: \sigma\ \ \bar{\alpha}\not\in ftv(\Gamma)}{\Gamma \vdash e: \forall \bar{\alpha}.\sigma}

给定 Γ\Gamma，它断言 e:σe: \sigma，以及许多不在 Γ\Gamma 中作为自由类型变量的类型变量 αˉ\bar{\alpha}，我们可以得出结论，在 Γ\Gamma 中可以断言 e:∀αˉ.σe: \forall \bar{\alpha}. \sigma。换句话说，由于 σ\sigma 包含类型变量，我们可以用所有在上下文中未使用的类型变量对其进行全称量化。这可能会导致使用不出现在 σ\sigma 中的类型变量进行量化，但这并不会造成差异。

实例化有点像泛化的逆过程；你取一个类型方案并用单态的新鲜类型变量替换所有量化的类型变量。每当我们需要使用类型方案时就会这样做。

Γ⊢e:σ_1  σ_1⊑σ_2Γ⊢e:σ_2\frac{\Gamma \vdash e: \sigma\_1 \ \ \sigma\_1 \sqsubseteq \sigma\_2}{\Gamma \vdash e: \sigma\_2}

如果在 Γ\Gamma 中可以断言 e:σ1e: \sigma_1，并且 σ2\sigma_2 是 σ1\sigma_1 的一个实例化，则我们可以得出结论，在 Γ\Gamma 中也可以断言 ee 同样是 σ2\sigma_2 类型的。

当我们说“是…的一个实例化”时，非正式地，我们的意思是 σ2\sigma_2 在某种程度上类似于 σ1\sigma_1。通过例子更容易解释这一点。

∀a.a→a⊑Int→Int∀a.a→a⊑b→b∀ab.a→b→a⊑Int→Bool→Int∀ab.a→b→a⊑(a→b)→c→(a→b)\begin{gather*}\forall a. a \rightarrow a \sqsubseteq Int \rightarrow Int\\\\\\\\\forall a. a \rightarrow a \sqsubseteq b \rightarrow b\\\\\\\\\forall ab. a \rightarrow b \rightarrow a \sqsubseteq Int \rightarrow Bool \rightarrow Int\\\\\\\\\forall ab. a \rightarrow b \rightarrow a \sqsubseteq (a \rightarrow b) \rightarrow c \rightarrow (a \rightarrow b)\\\\\end{gather*}

Substitution

你可能已经对什么是替换有了一个概念。

基本上，它是从符号到其他符号的映射。应用一个替换意味着“一致地”将一个符号替换为在替换中映射到的内容。应用替换的例子：

[a↦b]a=b[a↦b]c=c[a↦b,b↦a]ab=ba[a↦b,b↦c]cab=cbc\begin{align*}[a \mapsto b]a &= b\\\\[a \mapsto b]c &= c\\\\[a \mapsto b, b\mapsto a]ab &= ba\\\\[a \mapsto b, b\mapsto c]cab &= cbc\end{align*}

替换出现在方括号内（例如 [a↦b][a \mapsto b]）。多个替换由逗号分隔。也常见到 [a/b][a/b] 符号用于表示替换。我们将以 Data.Map 的形式表示替换，其中类型变量作为键，类型作为值。

Free Type Variables

我们还将使用函数 tvs 来检索类型中所有自由类型变量的集合。它将使用 Data.Set 实现。定义如下：

tvs(α)=αtvs(τ_1→τ_2)=tvs(τ_1)∪tvs(τ_2)tvs(Int)=∅tvs(Bool)=∅tvs(Ap_1p_2...)=⋃i=1ntvs(p_i)\begin{align*}tvs(\alpha) &= {\alpha}\\\\tvs(\tau\_1 \rightarrow \tau\_2) &= tvs(\tau\_1) \cup tvs(\tau\_2)\\\\tvs(Int) &= \varnothing \\\\tvs(Bool) &= \varnothing \\\\tvs(A p\_1 p\_2 ...) &= \bigcup_{i=1}^n tvs(p\_i)\end{align*}

Unification

统一（Unification）是我们构建替换的过程。我们不需要正式了解什么是统一。我们的算法只需要做的是取一个约束，比如等式约束，并尝试统一两个术语。

例如，如果两个术语之一是一个类型变量，例如 a=x→ya = x \rightarrow y，那么产生的替换可以简单地是 [a↦x→y][a \mapsto x \rightarrow y] 或 [x→y↦a][x \rightarrow y \mapsto a]。

我们将使用记号 a∼b(s)a \sim b(s) 来表示 aa 和 bb 可以通过替换 ss 进行统一，这意味着 [s]a=[s]b[s]a = [s]b。有了这个，统一规则如下：

α∼α({[]})α∉tvs(τ)α∼τ([α↦τ])α∉tvs(τ)τ∼α([α↦τ])τ_1∼τ′_1(s_1)    [s_1]τ_2∼[s_1]τ_2′(s_2)τ_1→τ_2∼τ_1′→τ_2′(s_2∘s_1)\begin{gather*}\alpha \sim \alpha(\{[]\})\\\\\\\\\frac{\alpha \not\in tvs(\tau)}{\alpha \sim \tau([\alpha \mapsto \tau])}\\\\\\\\\frac{\alpha \not\in tvs(\tau)}{\tau \sim \alpha([\alpha \mapsto \tau])}\\\\\\\\\frac{\tau\_1 \sim \tau'\_1(s\_1)\ \ \ \ [s\_1]\tau\_2 \sim [s\_1]\tau\_2'(s\_2)}{\tau\_1 \rightarrow \tau\_2 \sim \tau\_1' \rightarrow \tau\_2'(s\_2 \circ s\_1)}\end{gather*}

我们检查 α\alpha 是否出现在 τ\tau 的自由类型变量中，用于 Var Left 和 Var Right 规则，是因为否则它会尝试构造一个无限类型。

α∉tvs(τ)α∼τ([α↦τ])α∉tvs(τ)τ∼α([α↦τ])\begin{gather*}\frac{\alpha \not\in tvs(\tau)}{\alpha \sim \tau([\alpha \mapsto \tau])}\\\\\\\\\frac{\alpha \not\in tvs(\tau)}{\tau \sim \alpha([\alpha \mapsto \tau])}\end{gather*}

例如，尝试统一 a=a→ba = a \rightarrow b。你得到的替换是 [a↦a→b][a \mapsto a \rightarrow b]。如果我们尝试应用这个替换，我们会得到以下结果：

[a↦a→b]a=a→b[a↦a→b]a→b=(a→b)→b[a↦a→b](a→b)→b=((a→b)→b)→b\begin{align*}[ a \mapsto a \rightarrow b]a &= a \rightarrow b\\\\[ a \mapsto a \rightarrow b]a \rightarrow b &= (a\rightarrow b) \rightarrow b\\\\[ a \mapsto a \rightarrow b] (a \rightarrow b) \rightarrow b &= ( (a \rightarrow b) \rightarrow b) \rightarrow b\end{align*}

为了避免这种无限循环，我们执行一个称为“出现检查”的操作，这就是写成 α∉tvs(τ)\alpha \notin \text{tvs}(\tau) 的内容。

Inference Implementation

最终，把所有的解释放在一边，我们可以开始实现类型系统。这是所有内容希望能够合理结合并且有意义的地方。我们将要实现的特定算法被称为算法 W。这个算法与算法 J 的不同之处在于我们首先构建一组约束，然后执行统一和替换。在算法 J 中，你会在生成约束的同时进行统一和替换。

首先，让我们回顾一下我们将用于类型推断的 monad 转换器栈。主要的 monad 转换器将是 RWST，它等同于 ReaderT、WriterT、StateT`` 栈。它将转换的 monad 将是 Except String`，你可以根据需要添加自定义错误类型。

Reader monad 的环境将是类型上下文，一个从 Names 到 Schemes 的 Data.Map。Scheme 将是我们表示类型方案（polytypes）的方式。它将仅仅是一个类型变量的 Data.Set，以及这些类型变量关闭的类型。

Writer 将添加到等式约束列表中，我们将以另一种数据类型表示这些约束。我们还将定义一个帮助此过程的函数 constrain。

State monad 将保持生成的新鲜类型变量的计数（Int），以便我们知道下次返回哪个新鲜类型变量。函数 fresh 将处理生成新的类型变量。

最后一件事，启用 LambdaCase 语言扩展。它将使我们能够编写稍微清晰的代码。到目前为止，我们有：

{-# Language PatternSynonyms #-}{-# Language LambdaCase #-}{- ... Imports from before ... -}import qualified Data.Map as Mapimport qualified Data.Set as Setimport Control.Monad.RWSimport Control.Monad.Except{- ... Code from before ... -}data Scheme = Forall [Set.Set TVar] Typedata Constraint = Constraint Type Typetype Context = Map.Map Name Schemetype Count = Inttype Constraints = [Constraint]type Infer a = RWST Context Constraints Count (Except String) aconstrain :: Type -> Type -> Infer ()constrain = tell . (:[]) . Constraintfresh :: Infer Typefresh = docount <- getput (count + 1)return . TVar . TV $ show count

我们还定义一个名为 Substitutable 的类型类，它将定义 apply 函数用于应用替换，以及 tvs 函数用于查询自由类型变量。如上所述，我们将替换简单地表示为从类型变量到类型的 Data.Map。tvs 函数将给我们一个类型变量的 Data.Set，就像我们上面定义的那样。同时定义一个名为 compose 的函数，以便更容易地组合替换。

type Subst = Map.Map TVar Typecompose :: Subst -> Subst -> Substcompose a b = Map.map (apply a) (b `Map.union` a)class Substitutable a whereapply :: Subst -> a -> atvs :: a -> Set.Set TVar

然后，我们可以使一些数据类型成为 Substitutable 的实例。我们已经讨论过查询类型变量的规则，而 apply 的实现大多是直接的，所以不会详细讨论实现。

instance Substitutable Type wheretvs (TVar tv) = Set.singleton tvtvs (TCon _ ts) = foldr (Set.union . tvs) Set.empty tsapply s t@(TVar tv) = Map.findWithDefault t tv sapply s (TCon c ts) = TCon c $ map (apply s) tsinstance Substitutable Scheme wheretvs (Forall vs t) = tvs t `Set.difference` vsapply s (Forall vs t) = Forall vs $ apply (foldr Map.delete s vs) tinstance Substitutable Constraint wheretvs (Constraint t1 t2) = tvs t1 `Set.union` tvs t2apply s (Constraint t1 t2) = Constraint (apply s t1) (apply s t2)instance Substitutable a => Substitutable [a] wheretvs l = foldr (Set.union . tvs) Set.empty lapply s = map (apply s)

接下来，我们必须实现泛化（generalization）和实例化（instantiation）。这两个过程已经在第一部分中讨论过。generalize 函数将接收一个上下文和一个类型，并返回一个类型方案。instantiate 函数将接收一个类型方案，并在为其封闭的所有类型变量填入新鲜类型变量后返回一个类型。我们通过简单地应用一个替换来填充。

generalize :: Context -> Type -> Schemegeneralize ctx t = Forall (tvs t `Set.difference` tvs (Map.elems ctx)) tinstantiate :: Scheme -> Infer Typeinstantiate (Forall vs t) = dolet vars = Set.toList vsftvs <- traverse (const fresh) varslet subst = Map.fromList (zip vars ftvs)return $ apply subst t

现在我们可以开始主要的表达式推断函数。它的类型将是 Expr -> Infer Type。这个函数所做的只是逆向通过我们之前讨论过的推断规则（如果需要，请回顾第一部分）。对于 if 表达式的推断解释已经在注释中说明，尽管它应该是相当明显的。

infer :: Expr -> Infer Typeinfer = \caseEInt _ -> TInt -- Integer literalEBool _ -> TBool -- Boolean literalEVar v -> doctx <- ask -- Retrieve context from Readercase Map.lookup v ctx ofJust t -> instantiate t -- Instantiate type scheme for useNothing -> throwError $ "Undefined variable " ++ v -- Variable not definedEIf c a b -> doct <- infer c -- Infer type of condition expressionat <- infer a -- Infer type of main branchbt <- infer b -- Infer type of else branchconstrain ct TBool -- Condition expression should be a Boolconstrain at bt -- Branches should be of same typereturn at -- Return type of any branchEAbs p e -> dopt <- fresh -- Generate fresh type variable for paramlet ps = Forall Set.empty ptet <- local (Map.insert p ps) (infer e) -- Infer function definition with param definedreturn $ pt :-> et -- Function has type pt -> etEApp f a -> doft <- infer f -- Infer type of expression being calledat <- infer a -- Infer type of argumentrt <- fresh -- Fresh type variable for result typeconstrain ft (at :-> rt)return rtEBin o a b -> dolet ot = -- Operators are functionscase o ofAdd -> TInt :-> (TInt :-> TInt)Sub -> TInt :-> (TInt :-> TInt)-- NOTE: ADD MORE OPERATORS!!at <- infer a -- Infer left operandbt <- infer b -- Infer right operandt <- fresh -- Result typeconstrain ot (at :-> (bt :-> t))return tELet v e b -> doet <- infer e -- Infer variable typectx <- asklet es = generalize ctx et -- Generalize variable typebt <- local (Map.insert v es) (infer b) -- Infer body with variable definedreturn bt

这就是主要类型推断函数的全部内容。请多阅读几遍以确保理解它。现在我们剩下要实现的就是统一（unification）过程。这将或多或少直接将上面的定义翻译成代码。我们还应该为整个解决过程使用不同的 monad，即 Except monad。将定义一个名为 bind 的辅助函数，用于代码重用。它将执行出现检查。

type Solve a = Except String aunify :: Type -> Type -> Solve Substunify a b | a == b = return Map.empty -- Sameunify (TVar v) t = bind v t -- Var Leftunify t (TVar v) = bind v t -- Var Rightunify a@(TCon n1 ts1) b@(TCon n2 ts2) -- Arrow (->) / other TCons| a /= b = throwError $ "Type mismatch " ++ show a ++ " and " ++ show b| otherwise = unifyMany ts1 ts2whereunifyMany [] [] = return Map.emptyunifyMany (t1 : ts1) (t2 : ts2) = dos1 <- unify t1 t2s2 <- unifyMany (apply s1 ts1) (apply s1 ts2)return (s2 `compose` s1)bind :: TVar -> Type -> Solve Substbind v t| v `Set.member` tvs t = throwError $ "Infinite type " ++ show v ++ " ~ " ++ show t -- Occurs check| otherwise = return $ Map.singleton v t

最后，我们应该定义一个函数，它接收一系列约束并通过统一（unify）过程构建出最终的替换。定义一个运行 solve 的辅助函数也会很有用。

solve :: Subst -> [Constraint] -> Solve Substsolve s [] = return ssolve s ((Constraint t1 t2) : cs) = dos1 <- unify t1 t2solve (s1 `compose` s) (apply s1 cs)runSolve :: [Constraint] -> Either TypeError SubstrunSolve = runExcept . solve Map.empty
]]> https://www.keitsuki.top/posts/6fae0831/ 2023-12-20T10:08:05.000Z 随着对函数式语言的兴趣日渐浓厚，我对设计一门编程语言的冲动也越来越强烈。这个过程非常的艰难，需要大量的基础知识作为铺垫，其中非常重要的部分——类型系统尤为复杂。我从一些博文中了解到了Hindley-Milner类型系统、Algorithm W 和 Algori]]> 实现一个 Hindley-Milner 类型系统 2026-04-12T07:40:05.501Z 若木 《I'm OK》 我很ok吗？

当我一踏进家门。
我就感觉怪怪的。
当你坐在客厅瞪着TV。
你眉头上的皱纹。
你一直在深呼吸。
告诉我今晚我要小心。
我不明白什么事。
又让你发飚。
是不是这一次你能好好讲。
两个人什么事可以好商量。
...

]]> https://www.keitsuki.top/posts/d7f35b1a/ 2023-12-18T09:54:06.000Z 《I'm OK》 我很ok吗？ 多谢你 2026-04-12T07:40:05.509Z 若木 爱情好像流沙，随他去吧，我不害怕
Amo estas kiel movebla sablo, lasu ĝin, mi ne timas

David Tao!David Tao!]]> https://www.keitsuki.top/posts/bb5f300f/ 2023-12-05T08:19:37.000Z 爱情好像流沙，随他去吧，我不害怕
Amo estas kiel movebla sablo, lasu ĝin, mi ne timas

David Tao! 爱情好像流沙 2026-04-12T07:40:05.509Z 若木 为了便于气象上的应用，我们需要首先导出运动气块的场变量变化率和固定点上场变量变化率的关系。

全导数和局地导数的关系

选取一个要素场变量（如温度）来讨论全导数与局地导数的关系，既便于推导关系式，又利于了解物理意义。

在笛卡尔坐标系中，温度TT可以写为：

T=T(x,y,z,t)T = T(x,y,z,t)

对于一定的气块而言，位置(x,y,z)(x,y,z)是时间tt的函数，所以x=x(t)x = x(t)，y=y(t)y=y(t)，z=z(t)z=z(t)。建设t0t_0时刻气块位于(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)处，经过δt\delta t时间，气块移动到(x0+δx,y0+δy,z0+δz)(x_0 + \delta x , y_0 + \delta y , z_0 + \delta z)处，气块在运动中温度变化了δT\delta T，则δT\delta T
可按泰勒级数展开为：

δT=(∂T∂t)δt+(∂T∂x)δx+(∂T∂y)δy+(∂T∂z)δz+o(T)\delta T = \left(\frac{\partial T}{\partial t}\right)\delta t + \left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)\delta x + \left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)\delta y + \left(\frac{\partial T}{\partial z}\right)\delta z + o(T)

两侧除以δt\delta t，取δ→0\delta \rightarrow 0：

 ⁣dT ⁣dt=∂T∂t+(∂T∂x) ⁣dx ⁣dt+(∂T∂y) ⁣dy ⁣dt+(∂T∂z) ⁣dz ⁣dt\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} T}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \frac{\partial T}{\partial t} + \left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} x}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} y}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \left(\frac{\partial T}{\partial z}\right)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} z}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}

其中 ⁣dT ⁣dt\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} T}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} 是气块运动中温度随时间的变化率，在气象上称为温度的个别变化，也就是场变量的全导数；∂T∂t\frac{\partial T}{\partial t}则是固定位置(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)上温度随时间的变化率，在气象上称为局地变化，也就是场变量的局地导数。

其中 ⁣dx ⁣dt=u\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} x}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = u， ⁣dy ⁣dt=v\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} y}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = v， ⁣dz ⁣dt=ω\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} z}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \omega，分别是气块移动速度在xx，yy，zz方向上的分量。

 ⁣dT ⁣dt=∂T∂t+(∂T∂x)u+(∂T∂y)v+(∂T∂z)ω\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} T}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \frac{\partial T}{\partial t} + \left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)u + \left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)v + \left(\frac{\partial T}{\partial z}\right)\omega

或者：

 ⁣dT ⁣dt=∂T∂t+V⋅∇T∂T∂t= ⁣dT ⁣dt−V⋅∇T\begin{align*}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} T}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} &= \frac{\partial T}{\partial t} + \boldsymbol{V} \cdot \nabla T\\\\\frac{\partial T}{\partial t} &= \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} T}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} - \boldsymbol{V} \cdot \nabla T\\\\\end{align*}

其中 V\boldsymbol{V}是气块的全速度，∇\nabla是三维微分矢量算子。在气象上V\boldsymbol{V}通常表示水平速度，∇h\nabla_h表示二维微分矢量算子，所以换成气象上常用的形式是：

∂T∂t= ⁣dT ⁣dt−V⋅∇hT−ω∂T∂z\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} T}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} - \boldsymbol{V} \cdot \nabla_h T - \omega \frac{\partial T}{\partial z}

式中−V⋅∇hT-\boldsymbol{V} \cdot \nabla_h T是气块在温度水平分布不均匀的区域内保持原有温度做水平运动而对局地温度变化所提供的贡献，称为温度平流变化。例如：当风由冷区吹向暖区时，平流项是负值，有冷平流，使局地温度降低。
另外−ω∂T∂z-\omega \frac{\partial T}{\partial z}是空气的垂直运动引起的局地变化，称为对流变化。

大气运动相关方程

动量守恒定律建立了惯性坐标系中气块运动的加速度和作用力之和的关系。为了将牛顿第二运动定律应用于旋转坐标系中，首先需要导出绝对坐标系中加速度与相对坐标系之间的关系。

正如前文提到的惯性离心力和地转偏向力一样，由于相对坐标系于绝对坐标系是转动的，因此相对坐标系中的加速度与绝对坐标系中的加速度也是必然不同的。

绝对运动与相对运动的关系绝对运动与相对运动的关系

设起始时刻空气块与观测者都在地面上的PP点，运动开始后经过了δt\delta t时间，空气块移动到了PaP_a点，而观测者跟随地球自转移动到了PeP_e点。在绝对坐标系下，空气块的位移是δar,δar=PPa\delta_a \boldsymbol{r}, \delta_a \boldsymbol{r} = \boldsymbol{PP_a}；在相对坐标系中
看到空气块的位移是δr,δr=PePa\delta \boldsymbol{r}, \delta \boldsymbol{r} = \boldsymbol{P_eP_a}；在绝对坐标系中观测者的位移是δer=PPe\delta_e \boldsymbol{r} = \boldsymbol{PP_e}于是：

δar=δr+δer\delta_a \boldsymbol{r} = \delta \boldsymbol{r} + \delta_e \boldsymbol{r}

当时间很短，位移足够小：

 ⁣dar= ⁣dr+ ⁣der\mathop{}\!\mathrm{d}_a\boldsymbol{r} = \mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{r} + \mathop{}\!\mathrm{d}_e \boldsymbol{r}

两侧同时除以 ⁣dt\mathop{}\!\mathrm{d} t：

 ⁣dar ⁣dt= ⁣dr ⁣dt+ ⁣der ⁣dt\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}_a \boldsymbol{r}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}_e \boldsymbol{r}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}

或者：

Va=V+Ve\boldsymbol{V_a} = \boldsymbol{V} + \boldsymbol{V_e}

此式的意义是，绝对速度等于相对速度与牵连速度之和，牵连速度是地球自转造成的，即：

Ve=Ω×r\boldsymbol{V_e} = \boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{r}

此中Ω\boldsymbol{\Omega}是地球自转角速度，于是：

 ⁣dar ⁣dt= ⁣dr ⁣dt+Ω×r=( ⁣d ⁣dt+Ω×)r\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}_a \boldsymbol{r}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r} = \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \boldsymbol{\Omega} \times\right)\boldsymbol{r}

或：

Va=V+Ω×r\boldsymbol{V_a} = \boldsymbol{V} + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}

可以证明这种关系对于其他向量，例如绝对速度Va\boldsymbol{V_a}，也同样适用：

 ⁣daVa ⁣dt=( ⁣d ⁣dt+Ω×)Va\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}_a \boldsymbol{V_a}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \boldsymbol{\Omega} \times\right)\boldsymbol{V_a}

再以Va=V+Ω×r\boldsymbol{V_a} = \boldsymbol{V + \Omega \times r} 带入上式，得：

 ⁣daVa ⁣dt=( ⁣d ⁣dt+Ω×)(V+Ω×r)= ⁣dV ⁣dt+Ω× ⁣dr ⁣dt+Ω×V+Ω×(Ω×r)= ⁣dV ⁣dt+2Ω×V+Ω×(Ω×r)\begin{align*}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}_a \boldsymbol{V_a}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} &= \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \boldsymbol{\Omega} \times\right)(\boldsymbol{V} + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}) \\\\&= \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{V}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \boldsymbol{\Omega} \times \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{V} + \boldsymbol{\Omega} \times (\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r})\\\\&= \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{V}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + 2\Omega \times \boldsymbol{V} + \boldsymbol{\Omega} \times (\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r})\end{align*}

这就是绝对加速度和相对加速度的关系，可以看到视示力的作用，其中2Ω×V2\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{V} 为地转偏向加速度，Ω×(Ω×r)\boldsymbol{\Omega} \times (\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r})为向心加速度。

大气运动方程

在惯性系中，牛二定律可以写作：

 ⁣daVa ⁣dt=∑iFi\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}_a \boldsymbol{V_a}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \sum_i F_i

等式右侧是作用于空气块的真实力之和。真实力包括气压梯度力、地心引力和摩擦力。因此：

 ⁣daVa ⁣dt=−1ρ∇p+g∗+F\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}_a \boldsymbol{V_a}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \boldsymbol{g^*} + \boldsymbol{F}

带入前式：

 ⁣dV ⁣dt=−1ρ∇p−2Ω×V+g+F\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{V}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = -\frac{1}{\rho}\nabla p - 2\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{V} + \boldsymbol{g} + \boldsymbol{F}

球坐标系中的分量方程

为了进行计算，常常需要将向量形式的运动方程展开为标量分量形式的方程。为了便于气象应用，通常采用局地直角坐标系或者球坐标系进行分解。由于局地直角坐标系实际上就是忽略地球曲率的球坐标系简化形式，因此在这里首先讨论球坐标系。

地球的形状与正球体的差别很小，因此通常将其近似为一个球体在气象上的处理影响完全可以忽略。

球坐标系球坐标系

在球坐标系中，三个坐标轴为(λ,ϕ,r)(\lambda, \phi, r)，地球水平面相当于坐标平面，例如空气质点位于PP点时，其位置坐标可以表示为(λ,ϕ,r)(\lambda, \phi, r)，其中λ\lambda为经度，ϕ\phi为纬度，rr为球心至PP点的距离。i,j,ki,j,k为在PP点与纬圈相切指向东、与经圈相切指向北，以及指向天顶的单位向量。

取u,v,wu,v,w分别表示相对速度V\boldsymbol{V}在球坐标系i,j,k\boldsymbol{i,j,k}三个方向的分量，则：

V=ui+vj+ωk\boldsymbol{V} = u\boldsymbol{i} + v\boldsymbol{j} + \omega \boldsymbol{k}

设PP点处沿着i,j,k\boldsymbol{i,j,k}方向的微小线元分别为δx,δy\delta x, \delta y和δz\delta z，则：

{δx=rcos⁡ϕδλδy=rδϕδz=δr\begin{align*} \left\{ \begin{array}{ll}\delta x &= r\cos{\phi}\delta \lambda\\\\\delta y &= r\delta \phi\\\\\delta z &= \delta r \end{array} \right.\end{align*}

相同的：

{u≡ ⁣dx ⁣dt=rcos⁡ϕ ⁣dλ ⁣dtv≡ ⁣dy ⁣dt=rδ ⁣dϕ ⁣dtω≡ ⁣dz ⁣dt= ⁣dr ⁣dt\begin{align*} \left\{ \begin{array}{ll}u &\equiv \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} x}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = r\cos{\phi}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \lambda}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\\\\v &\equiv \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} y}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = r\delta \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \phi}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\\\\\omega &\equiv \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} z}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} r}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} \end{array} \right.\end{align*}

设A(λ,ϕ,r,t)A(\lambda, \phi, r, t)为任一场变量，则有：

 ⁣dA ⁣dt=∂A∂t+∂A∂λ ⁣dλ ⁣dt+∂A∂ϕ ⁣dϕ ⁣dt+∂A∂r ⁣dr ⁣dt=∂A∂t+urcos⁡ϕ∂A∂λ+vr∂A∂ϕ+ω∂A∂r\begin{align*}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} A}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} &= \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial A}{\partial \lambda}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \lambda}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \frac{\partial A}{\partial \phi}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \phi}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \frac{\partial A}{\partial r}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} r}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\\\\&= \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial A}{\partial \lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial A}{\partial \phi} + \omega \frac{\partial A}{\partial r}\end{align*}

由此，球坐标系中的欧拉算子为：

 ⁣d ⁣dt=∂∂t+urcos⁡ϕ∂∂λ+vr∂∂ϕ+ω∂∂r\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \frac{\partial}{\partial t} + \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial}{\partial \lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial}{\partial \phi} + \omega \frac{\partial}{\partial r}

由于i,j,ki,j,k是随位置变化的，因此，在球坐标系下加速度写为：

 ⁣dV ⁣dt= ⁣du ⁣dti+ ⁣dv ⁣dtj+ ⁣dω ⁣dtk+u ⁣di ⁣dt+v ⁣dj ⁣dt+ω ⁣dk ⁣dt\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{V}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} u}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\boldsymbol{i} + \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} v}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\boldsymbol{j} + \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \omega}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\boldsymbol{k} + u \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{i}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + v \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{j}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \omega \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{k}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}

利用欧拉算子， ⁣di ⁣dt\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{i}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} 可表示为：

 ⁣di ⁣dt=∂i∂t+urcos⁡ϕ∂i∂λ+vr∂i∂ϕ+ω∂i∂r∂i∂t=∂i∂ϕ=∂i∂r=0 ⁣di ⁣dt=urcos⁡ϕ∂i∂λ\begin{align*}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} i}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} &= \frac{\partial i}{\partial t} + \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial i}{\partial \lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial i}{\partial \phi} + \omega \frac{\partial i}{\partial r}\\\\\frac{\partial i}{\partial t} &= \frac{\partial i}{\partial \phi} = \frac{\partial i}{\partial r} = 0\\\\\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} i}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} &= \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial i}{\partial \lambda}\end{align*}

 ⁣dj ⁣dt\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{j}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} 表示为：

 ⁣dj ⁣dt=∂j∂t+urcos⁡ϕ∂j∂λ+vr∂j∂ϕ+ω∂j∂r=urcos⁡ϕ∂j∂λ+vr∂j∂ϕ\begin{align*}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} j}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} &= \frac{\partial j}{\partial t} + \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial j}{\partial \lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial j}{\partial \phi} + \omega \frac{\partial j}{\partial r}\\\\&= \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \phi}\end{align*}

 ⁣dk ⁣dt\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{k}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} 表示为：

 ⁣dk ⁣dt=∂k∂t+urcos⁡ϕ∂k∂λ+vr∂k∂ϕ+ω∂k∂r=urcos⁡ϕ∂k∂λ+vr∂k∂ϕ\begin{align*}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} k}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} &= \frac{\partial k}{\partial t} + \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial k}{\partial \lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial k}{\partial \phi} + \omega \frac{\partial k}{\partial r}\\\\&= \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \phi}\end{align*}

后续会对上述分量进行简化。

]]> https://www.keitsuki.top/posts/28c770c/ 2023-09-09T14:09:34.000Z 为了便于气象上的应用，我们需要首先导出运动气块的场变量变化率和固定点上场变量变化率的关系。

全导数和局地导数的关系

选取一个要素场变量（如温度）来讨论全导数与局地导数的关系，既便于推导关系式，又利于了解物理意]]>

大气运动的基本方程组 2026-04-12T07:40:05.501Z 若木 大气运动基本特征

大气被视为连续的流体介质，表征大气状态的物理变量在大气连续介质中具有单一的值，这些场变量和他们的导数是空间和时间的连续函数。

影响大气运动的作用力

牛顿第二定律适用于惯性系，单位质量空气块相对于空间固定坐标系的运动加速度等于所有作用力之和。这里的力是真实作用于大气的力，一般称为“基本力”或“牛顿力”。对于自转的地球而言，还需要考虑视示力，如惯性离心力和地转偏向力。

  • 气压梯度力: 气压分布不均匀时，气块就会受到一种静压力的作用，作用于单位质量气块上的静压力称为气压梯度力。
  • 地心引力: 宇宙间任何两个物体之间都具有引力，其大小与两物体的质量乘积成正比，与两物体之间距离的平方成反比。
  • 摩擦力: 大气是一种粘性流体，同任何实际流体一样都受到内摩擦的影响。

气压梯度力

我们把气块是为一个微立方体，取局地直角坐标系，其体积为V=δxδyδzV = \delta x \delta y \delta z。
设周围大气作用于B上的压力为pδyδzp\delta y \delta z，则作用于A面上的压力应为−(p+∂p∂xδx)δyδz-\left(p+\frac{\partial p}{\partial x}\delta x\right)\delta y \delta z。

xx 方向上周围大气作用于体积元上的静压力之和为：

pδyδz−−(p+∂p∂xδx)δyδz=−∂p∂xδxδyδzp\delta y\delta z - -\left(p+\frac{\partial p}{\partial x}\delta x\right)\delta y \delta z = -\frac{\partial p}{\partial x}\delta x \delta y\delta z

其余方向类似，因此总静压力为三个方向的和：

−∇pδxδyδz-\nabla p \delta x \delta y \delta z

设气块密度为ρ\rho，该体积元所含的大气质量为 m=ρδxδyδzm=\rho \delta x \delta y \delta z，所以单位质量气块上的静压力为：

−1ρ∇p-\frac{1}{\rho} \nabla p

Figure 1: 体积元气块Figure 1: 体积元气块

地心引力

万有引力公式：

Fg=−GMmr2(r⃗r)\mathcal{F}_g = - \frac{GMm}{r^2}(\frac{\vec{r}}{r})

GG 照惯例为引力常数。假设地球质量为MM，气块质量为mm，那么地球对单位质量气块的引力为：

Fgm=−GMru2(r⃗r)=g∗\frac{\mathcal{F}_g}{m} = - \frac{GM}{r_u^2}\left(\frac{\vec{r}}{r}\right) = \boldsymbol{g}^*

假设地球平均半径为aa，zz为海拔高度，则上式可写成：

g∗=−GM(a+z)2(r⃗r)=−GMa2⋅1(1+z/a)2(r⃗r)=g0∗(1+z/a)2g0∗=−GMa2(r⃗r)\begin{aligned}\boldsymbol{g}^* = - \frac{GM}{(a + z)^2}\left(\frac{\vec{r}}{r}\right) &= -\frac{GM}{a^2}\cdot \frac{1}{(1 + z/a)^2}(\frac{\vec{r}}{r}) = \frac{\boldsymbol{g}_0^*}{(1 + z/a)^2}\\\\ \boldsymbol{g}_0^* &= - \frac{GM}{a^2}(\frac{\vec{r}}{r})\end{aligned}

(2)(2) 式是海平面上的地心引力， zz 一般仅为数十千米，aa可达六千多千米，因此 g∗≈g0∗\boldsymbol{g}^* \approx \boldsymbol{g}_0^*，可作为常数。

摩擦力

分子运动论的观点——任一瞬间分子的不规则运动会引起动量的上下传递。由上向下穿过任一zz平面的分子携带较大的动量使下层的uu增大，向上穿过任一zz平面的分子携带较小的动量使上层的uu减小。（∂u∂z>0\frac{\partial u}{\partial z} > 0）

宏观视角下，不同层间由于速度切边必然存在作用力与反作用力，这种作用力是因流体粘性引起的切变流中的粘滞力。实验表明的是，这种粘滞力与uu的垂直切变与流体层间的作用面积成正比：

fz x=μA∂u∂zf_{z\ x} = \mu A\frac{\partial u}{\partial z}

μ\mu是动力粘滞系数。AA是面积，令τz x\tau_{z\ x}表示作用于单位面积上的粘滞力，则：

τz x≡μ∂u∂z\tau_{z\ x} \equiv \mu\frac{\partial u}{\partial z}

显而易见的是切应力与 ∂u∂z\frac{\partial u}{\partial z}成正比，而不是与uu本身成比例，在uu随高度成线性分布的条件下，每一层上下收到的切应力大小相等方向相反，因此没有净粘滞力。

大气是一种低粘性流体，除了在近地面几厘米的薄层内因风的垂直切变很大需要考虑分子粘性外，在其他气层都可忽略该效应。

惯性离心力

我将以下几种视示力称为“将非惯性系视为惯性系的补偿”。如果我们站在随球一起转动的坐标系中来观察，发现球是静止的。但向心力是真实存在的，但这是与牛二违背的，因此我们在这个坐标系中引入一个力，其大小与向心力大小相等、方向相反，这个“力”使得坐标系静止。
所以惯性离心力表示为：

C=Ω2R\boldsymbol{C} = \Omega^2 \boldsymbol{R}

地转偏向力

**当物体相对旋转坐标系运动时，在旋转坐标系中引入的视示力。**地球自转角速度Ω\Omega在x,y,zx,y,z方向的投影分量分别是：

Ωx=0Ωy=Ωcos⁡ϕΩz=Ωsin⁡ϕ\begin{align*}\Omega_x &= 0\\\\\Omega_y &= \Omega \cos{\phi}\\\\\Omega_z &= \Omega \sin{\phi}\end{align*}

角速度使得球面上的坐标系相对于惯性系旋转，使得身处在旋转系中的我们感觉存在一个力使得运动轨迹发生偏移，实际上这只是非惯性系的“补偿”。

一个不严谨的推导如图：

δy=uδtδθ=uδtΩzδt=uΩzδt2δz=uδtδθ=uδtΩzδt=uΩzδt2δy=12(− ⁣dv ⁣dt)Aδt2δz=12( ⁣dω ⁣dt)Aδt2then( ⁣dv ⁣dt)A=−2Ωzu=−2Ωusin⁡ϕ( ⁣dω ⁣dt)A=2Ωyu=2Ωucos⁡ϕ\begin{align*} \delta y = u \delta t \delta \theta &= u \delta t \Omega_z \delta t = u \Omega_z \delta t^2\\\\ \delta z = u \delta t \delta \theta &= u \delta t \Omega_z \delta t = u \Omega_z \delta t^2\\\\ \\\\ \delta y &= \frac{1}{2}\left(-\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} v}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A \delta t^2\\\\ \delta z &= \frac{1}{2}\left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \omega}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A \delta t^2\\\\ &\\ then\\\\ \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} v}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A &= -2\Omega_z u = -2 \Omega u \sin{\phi}\\\\ \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \omega}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A &= 2\Omega_y u = 2 \Omega u \cos{\phi}\end{align*}

类似的：

( ⁣du ⁣dt)A=2Ωz−2Ωyω=2Ωvsin⁡ϕ−2Ωwcos⁡ϕ\left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} u}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A = 2 \Omega_z - 2\Omega_y \omega = 2\Omega v \sin{\phi} - 2 \Omega w \cos{\phi}

Fig.2 科里奥利力中坐标系旋转示意图Fig.2 科里奥利力中坐标系旋转示意图

令 A\boldsymbol{A} 表示地转偏向力，其分量可写成：

{Ax=( ⁣du ⁣dt)A=2Ωz−2Ωyω=2Ωvsin⁡ϕ−2Ωwcos⁡ϕAy=( ⁣dv ⁣dt)A=−2Ωusin⁡ϕAz=( ⁣dw ⁣dt)A=2Ωucos⁡ϕ\begin{align*} \left\{ \begin{array}{ll} A_x &= \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} u}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A = 2 \Omega_z - 2\Omega_y \omega = 2\Omega v \sin{\phi} - 2 \Omega w \cos{\phi}\\\\ A_y &= \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} v}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A = -2 \Omega u \sin{\phi}\\\\ A_z &= \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} w}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A = 2 \Omega u \cos{\phi} \end{array} \right.\end{align*}

其向量形式为：

A=−2Ω×V\boldsymbol{A} = -2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{V}

旋转坐标系中的重力

合并地心引力和惯性离心力的作用，惯性离心力在地心引力相反方向的分量部分抵消了地心引力，气块的重量实际上小于mg∗mg^*。

g≡g∗+Ω2R\boldsymbol{g} \equiv \boldsymbol{g}^* + \Omega^2 \boldsymbol{R}

如果地球是一个正球体，惯性离心力会存在一个平行于地面指向赤道的分力。但地球是近似椭球体，调整后的地平面在指向赤道的方向没有重力分量。

]]> https://www.keitsuki.top/posts/ed9c4864/ 2023-09-07T15:15:10.000Z 大气运动基本特征

大气被视为连续的流体介质，表征大气状态的物理变量在大气连续介质中具有单一的值，这些场变量和他们的导数是空间和时间的连续函数。

影响大气运动的作用力

牛顿第二定律适用于惯性系，]]>

大气运动的基本特征 2026-04-12T07:40:05.501Z 若木 比例和投影是地图中两个基本概念，但往往没有被人关注。比例（Scale）是指地图单位与现实世界单位的关系，而投影（project）涉及将三维坐标转换为二维坐标的方法。
接下来将介绍到：

  • 比例尺、以及告诉地图用户测量的方法
  • 投影原理、投影分类以及它们的特点

最后，你应该能够看懂地图比例尺、分辨常用的地图投影，理解基本特征和用途。

Scale

地球很大，表面积超过5亿平方公里，你能轻易携带的地球图片只能展示各大洲和国家的大体轮廓。所以当我们想在地图上直观地观察某一区域时，我们务必会收缩它的尺寸。比例尺衡量了真实尺寸特征被缩小了多少。或者更准确地说，地图比例尺显示了地图上给定距离与现实世界中地面上相应距离的比例。

地图比例有 分数、图形、文字描述 三种表现形式。

Representative fraction 是最常用的比例表示法（RF）。其由一个比率表示，分子始终为1，分母表示真实世界距离有多大。

Representative fraction.Representative fraction and scale bars from a United States Geological Survey (USGS) topographic map. This topographic map has an RF of 1:24,000, which means that one unit on the map represents 24,000 units on the ground.Representative fraction.Representative fraction and scale bars from a United States Geological Survey (USGS) topographic map. This topographic map has an RF of 1:24,000, which means that one unit on the map represents 24,000 units on the ground.

图像比例尺用图像表示地图上的距离。一个显著的优点是地图图像的比例更改也不会影响它。而一些文本描述的比例通常在老地图上出现，例如你能看见诸如“一英寸表示一千米”的字样。

当我们谈到比例尺的大小时，我们往往谈的是地图表示特征的详细程度，一般来说，地图比例尺越大，显示的细节越多。

Extent 与 Resolution

地图的范围（Extent）描述的是地图上可见的区域，而分辨率（Resolution）描述的是地图上显示的最小单元。下图的Extent是美国全国，而Resolution 是州。

Map resolution and extent. This map shows a national extent and a state resolution. The extent of the map is national while the resolution is at the state level because they are the finest level of spatial detail that we can see.

我们会有意地选择地图的分辨率以更好的展示各种数据，如果我们尝试以人口普查区块的分辨率显示全国范围的地图，则会使地图非常精细，以至于很难理解地图的任何内容。平衡范围和分辨率通常是制图师必须做出的最重要和最困难的决定之一。下图提供了两个关于范围和分辨率之间差异的示例

More map extent and resolution. Maps showing an extent of the Pacific Northwest. The top image has a spatial resolution of the county and the bottom has a spatial resolution of census tracts.More map extent and resolution. Maps showing an extent of the Pacific Northwest. The top image has a spatial resolution of the county and the bottom has a spatial resolution of census tracts.

Coordinates 与 Projections

地球表面的位置是用一组两个或多个数字的坐标来表示的。最简单的是笛卡尔坐标系，以 17 世纪数学家和哲学家勒内·笛卡尔 (René Descartes) 的名字命名。笛卡尔坐标系只是将两个测量刻度放在一起形成的网格。xx 和 yy 都为零的点称为坐标系的原点。原点 (0,0)(0,0) 位于网格的中心（两条粗线的交点）。所有其他位置都是相对于原点指定的，如 (3,2)(3, 2) 和 (−4,−1)(-4, -1) 。

Coordinate system. Locations on the Earth’s surface are measured in terms of coordinates, a set of two or more numbers that specifies a location in relation to some reference system.Coordinate system. Locations on the Earth’s surface are measured in terms of coordinates, a set of two or more numbers that specifies a location in relation to some reference system.

地理坐标系统是专门设计来定义地球大致球面上的位置的。地理坐标系统不像笛卡尔坐标系那样使用 xx 和 yy 两个线性测量刻度，而是使用：

  1. 东西刻度，称为经度，范围从 +180°+180° 到 −180°-180° 。因为地球是圆的，所以 +180°+180° (或 180°E180°E )和 −180°-180° (或 180°W180°W )是同一条网格线，称为国际日期变更线。与国际日期变更线相对的是本初子午线，即定义为 0°0° 的经线。
  2. 南北刻度，称为纬度，范围从北极的 +90°+90° (或 90°N90°N )到南极的 −90°-90° (或 90°S90°S )。

简单来说，经度指定东西位置，纬度指定南北位置。在高纬度地区，平行线的长度在南北纬90度处减小为零。经线不是平行的，而是向两极汇聚。

Longitude and latitude. The graticule is based on an east-west scale called longitude and a north-south scale called latitude.Longitude and latitude. The graticule is based on an east-west scale called longitude and a north-south scale called latitude.

光栅用（graticule）纬度和经度坐标指定地球上的位置。光栅（graticule）指的是三维地球仪上的经纬度。当我们在二维地图上使用经度和纬度时，我们将它们称为地理坐标（geographic coordinates）。地图可以有大量不同的坐标系统，这取决于谁开发和使用它们。

投影（project）是把一个三维球体变成一个二维地图的术语。如上所述，地球仪上的光栅（geographic coordinates）是有用的，但我们如何从三维光栅转换到二维地理坐标？如下图所示

我们将讨论三维表面(地球)上的物体如何在纸张或电脑屏幕上表现出来的过程。我们的重点将放在不同投影所扭曲或保持的属性上。

Graticule projected. The longitude and latitude of the graticule become two-dimensional geographic coordinates through projection.Graticule projected. The longitude and latitude of the graticule become two-dimensional geographic coordinates through projection.

投影是将三维地球仪绘制成二维地图的过程。我们可以把地球想象成一个球体（实际上，它更像是一个带有一些凸起的椭球体）。为了了解这个过程有多困难，想象一下剥掉橙子的皮，并试着把它放平。

在你尝试的过程中，你可能会遇到以下问题：

  • 剪切，在一或多个方向拉伸
  • 撕裂
  • 压缩，产生了很多的褶皱

当制图师试图将三维地球转换成二维地图时，他们也面临着同样的三个问题。如果你有一个纸做的地球仪，你可以小心地试着把它“剥”成一张平的纸。
Shearing, tearing, compression. Cartographers face these three issues of shearing, tearing, and compression on a globe when they try to transform the three-dimensional globe into a two-dimensional map.Shearing, tearing, compression. Cartographers face these three issues of shearing, tearing, and compression on a globe when they try to transform the three-dimensional globe into a two-dimensional map.

投影的原理

“地图投影”一词是指将三维球面上的空间坐标转换为二维平面的过程和结果。就实际而言，大多数投影使用数学函数，将球体上的位置作为输入，并将其转换为二维表面上的位置。

如果你有一个沙滩球大小的透明球，在球里放一盏灯，它就会在周围的表面上投下阴影。你把一张纸包裹在地球上，仔细地把这些阴影画在纸上，然后把这张纸摊平，就得到了你的一个投影。

Thinking of projections in physical terms. You can conceptualize projection as working with a clear globe, a light bulb, and tracing paper. If you had a clear globe the size of a beach ball and placed a light inside this globe, it would cast shadows onto a surrounding surface. This surface can be a (a) cylinder, (b) cone, or (c) plane. Thinking of projections in physical terms. You can conceptualize projection as working with a clear globe, a light bulb, and tracing paper. If you had a clear globe the size of a beach ball and placed a light inside this globe, it would cast shadows onto a surrounding surface. This surface can be a (a) cylinder, (b) cone, or (c) plane.

大多数投影将地球的一部分转换为三种可以展开的表面之一——平面、圆锥和圆柱体。由此产生的投影被称为平面、锥形和圆柱形投影。我们使用可展曲面是因为它们可以消除撕裂，尽管它们会产生剪切和压缩。在这三个问题中，撕裂是最严重的问题，因为这会使你制作的地图产生空洞。

Tangency. Red lines or dots mark the tangent line or point respectively. The flat surface touches the globe and it is the point on the projected map which has the least distortion. the place where the developable surface touches the globe is known as the tangent point or tangent line. These surfaces can be a (a) cylinder, (b) cone, or (c) plane. Tangency. Red lines or dots mark the tangent line or point respectively. The flat surface touches the globe and it is the point on the projected map which has the least distortion. the place where the developable surface touches the globe is known as the tangent point or tangent line. These surfaces can be a (a) cylinder, (b) cone, or (c) plane.

可展曲面与球体接触的地方称为切点或切线。地图在这些切点或切线上不会失真，但距离这些切点或切线越远时，失真会越严重。正因如此，圆柱体投影通常用于赤道附近地区，圆锥用于绘制中纬度地区，平面用于极地地区。

投影在展平地球表面的过程中必定会扭曲其表面特征，因为投影涉及剪切、撕裂和压缩。由于没有投影可以保留所有属性，因此地图制作者需要知道哪些属性对其目的来说是最重要的，并选择合适的投影。我们将关注的属性是形状、面积和距离。

mention :
请注意，变形不一定与可展曲面的类型有关，而是与用该曲面进行变换的方式有关。使用任何可展曲面都可以保留这三种性质中的一种。

Conformal

保形投影（Confomal Projection）保留了形状和角度，但在此过程中会严重扭曲面积。例如，使用墨卡托投影，海岸线的形状在地图的所有部分都是准确的，但相对于赤道附近的国家，靠近两极的国家看起来要比实际大得多。例如，格陵兰岛的面积只有非洲的7%，但它看起来和非洲一样大!

Mercator projection. The Mercator projection is conformal because it preserves shape and angle but strongly distorts area.Mercator projection. The Mercator projection is conformal because it preserves shape and angle but strongly distorts area.

如果地图的主要目的是测量角度或表示地物的形状，则应使用保形投影。它们对导航、地形图(高程图)和天气图非常有用。

Mercator distortion. The Mercator projection is conformal because it preserves shape and angle but strongly distorts area.Mercator distortion. The Mercator projection is conformal because it preserves shape and angle but strongly distorts area.

Equal Area

在等面积投影（Equal Area Projection）中，地图上任何区域的大小都与地球上的真实大小成正比。换句话说，与地球上的国家相比，国家的形状可能会被压扁或拉伸，但它们的陆地面积相对于其他陆地是准确的。例如，在盖尔-彼得斯投影中，格陵兰岛的形状发生了明显的变化，但与非洲相比，其面积的大小是正确的。

Gall-Peters projection. The Gall Peters projection is equal area. Note how the shape of Greenland is significantly altered, but the size of its area is correct in comparison to other regions such as Africa.Gall-Peters projection. The Gall Peters projection is equal area. Note how the shape of Greenland is significantly altered, but the size of its area is correct in comparison to other regions such as Africa.

然而，正如我们在等面积投影中看到的那样，椭圆在地球上的区域大小中保持正确的比例，但它们的形状是变形的。等面积投影是小比例尺制图的首选方法。

Equidistant

等距投影（Equidistant Projection），这个名字有些误导性，因为没有投影可以保持地图上所有地方之间的相对距离。然而，等距地图能够沿着一些明确指定的线保持距离。例如，在方位角等距投影（Azimuthal Equidistant projection）上，所有点与中心点的距离和方向都成比例。这种类型的投影在可视化从一个城市到其他几个城市的飞机飞行路径或绘制地震震中时非常有用。方位角投影在一定程度上以形状和面积扭曲为代价来保证距离的比例准确。联合国的旗帜上有一个极方位角等距投影的例子。

妥协

包括罗宾逊投影（Robinson projection）在内的一些投影方法在不同的属性之间取得了平衡。换句话说，它们不是只保留形状、面积或距离，而是尽量避免任何这些属性的极端失真。这种类型的投影对于通用世界地图非常有用。

Robinson Projection. Some projections, including the Robinson projection, strike a balance between the different map properties. In other words, they do not preserve shape, area, or distance, but instead try to avoid extreme distortion. Robinson Projection. Some projections, including the Robinson projection, strike a balance between the different map properties. In other words, they do not preserve shape, area, or distance, but instead try to avoid extreme distortion.

其他投影则通过在一些重要位置撕开平面来将三维地球变平。

间断投影（如间断的Goode Homolosine projection）以分裂的几片来表示地球，减少了两极附近的形状和面积变形。该投影由约翰-保罗-古德（John Paul Goode）于 1923 年开发，为墨卡托投影提供了一种替代方案，用于描绘全球区域关系。

Goode homolosine projection of the world. This equal-area projection is interrupted in the sense that it uses lobes or sections. Goode homolosine projection of the world. This equal-area projection is interrupted in the sense that it uses lobes or sections.

它是等面积的，但不是保形的。

References

  1. Laura Matson and Melinda Kernik. Scale and Projections https://open.lib.umn.edu/mapping/chapter/3-scale-and-projections/
]]> https://www.keitsuki.top/posts/cc0fc00e/ 2023-07-17T15:44:07.000Z 比例和投影是地图中两个基本概念，但往往没有被人关注。比例（Scale）是指地图单位与现实世界单位的关系，而投影（project）涉及将三维坐标转换为二维坐标的方法。
接下来将介绍到：

  • 比例尺、以及告诉地图用户测量的方法
  • 投]]>
比例和投影 2026-04-12T07:40:05.501Z 若木 全书共五部分，逐章讲述范畴论的基本内容。

Section 1 Galileo and multiplication of objects

四个世纪以前，伽利略对物体运动的问题感到疑惑，他试图弄明白一块丢出去的石头抑或是喷泉中喷出的水柱的精确运动过程。这个过程包括每一时刻物体的位置，这需要一组连续的画面去描述。我们称这种运动是一种从时间向空间的映射(map)。

你肯定也听过这个故事：伽利略将一重一轻的两个球从比萨斜塔上丢下，围观者惊讶地发现它们是同时落地 —— 这种对垂直方向运动的研究似乎过于特殊而无法对一般的运动过程提供启示，即使是小孩也会知道落石的轨迹是一条直线。
然而落石的运动并不简单，它在下落的过程中会加速，因此运动同样的路程时，后面要花费更少的时间，这也就是为什么伽利略集中在垂直运动这个特殊的情况下。

这存在一个式子：

SPACE=PLANE×LINESPACE = PLANE \times LINE

试想太阳在头顶，对于空间中的每一个点你都会在水平面上找到一个投影点。这个投影将空间映射至一个平面。

再设想一根垂直线插入地面，对于空间中的每个点都能找到与这根线相对应的点，这线上相对应点与空间中的点处于相同的层。

合在一起，我们得到了：

以上两个映射似乎将每个问题分解成两个更简单的问题，一个为平面上的问题，一个为垂直线上的问题。如果一只鸟在飞翔，我们立刻就能通过投影和层高还原出它的空间位置。更进一步地，当你拥有这只鸟投影和层高的连续记录时，你可以还原出它的整个飞行过程，所以不仅位置可以被简化成投影和层高，运动过程也可以。

我们将这些映射组合在一起：

空间可以通过如上映射分解：

至此，空间变量已经从图上消失了。

伽利略的发现表明通过两个更简单的运动可以描述一个更复杂的运动。事实上，如果投影和层高的变化是连续的（也就说说阴影或层高不会突然地从一个地方消失后从另一个地方突然出现的话)，那么鸟的运动也是连续的。这一发现使伽利略能将运动简化为之前提到的“特殊”情况。

那么通过以上两个映射组成的式子 $SPACE = PLANE \times LINE $ 来表示空间是否合理？映射间的乘法又代表什么？

]]> https://www.keitsuki.top/posts/3d66feb7/ 2022-02-11T11:57:02.000Z 全书共五部分，逐章讲述范畴论的基本内容。

Section 1 Galileo and multiplication of objects

 Conceptural Mathematics book notes 2026-04-12T07:40:05.501Z 若木 天气尺度的运动系统，通常是指在天气图上所能分析出的，在气压场和风场中具有结构特征和移动、发展规律的__天气系统__。这种系统属于大尺度的运动系统，是影响大范围天气变化的重要成员，在这种天气尺度的大气运动系统中，风和气压具有显著的特征和密切的联系。

在讨论其中的关系前，首先应该先对大尺度运动系统的各控制方程进行梳理。

大尺度运动系统的控制方程

物理学中的基本守恒定律导出的运动、连续和热力学方程，可以全面地包括影响大气运动的各种物理因素，它们是支配大气运动的基本方程。但由实践发现，实际大气中的各种不同规模和维持时间的系统具有显著差异，而且动力学和热力学特性也大不相同。原因主要在于不同物理因素对不同种类的运动具有不同的“地位”，即是“主要矛盾”与“次要矛盾”的关系。

在实践中我们可以突出主要因素，略去次要因素以简化方程，即利于数学处理，也利于解释某种运动的本质特征。

尺度分析

尺度分析是针对某种运动去估计基本方程中各项量级的简便方法。

通过尺度分析，保留大项，去除小项，可以得到简化。进行尺度分析，应按照下列步骤确定尺度(以下将采用国际单位制)：

  • 确定各变量的数量级
  • 确定各变量的变化幅度
  • 确定各变量的特征长度、厚度和时间尺度

例如：在一个中纬度天气尺度气旋中，地面气压在2000km2000km的水平距离上可以变化20hPa20hPa。用δp\delta p表示水平方向上气压变化的幅度，用LL表示水平尺度，用∼\sim表示数量级相同，把δp\delta p和LL带入水平气压梯度项得到水平气压梯度力的量级为：

(∂p∂x,∂p∂y)∼δpL=10−5hPa/m\left( \frac{\partial p}{\partial x},\frac{\partial p}{\partial y} \right) \sim \frac{\delta p}{L} = 10 ^ {-5} hPa/m

对于一些水平尺度不同的系统而言，水平方向上的气压变化幅度相同，但水平气压梯度却相差几个量级，因此可以按照水平尺度对大气运动系统进行分类。

对于水平尺度分类划分的标准现在尚未统一，因此在这只给出其中一种分类方法。

行星尺度大尺度（天气尺度）中尺度对流或小尺度
104km10^4\mathbf{km}103km10^3\mathbf{km}102km10^2\mathbf{km}10km10\mathbf{km}

大尺度系统的运动方程

根据中纬度天气尺度系统的观测值，各变量的特征尺度如下：

物理量数量级
VV10ms−110ms^{-1}
WW10−2ms−110^{-2}ms^{-1}
LL106m10^6m
HH104m10^4m
Δpρ\frac{\Delta p}{\rho}103m2s−210^3m^2s^{-2}
LV\frac{L}{V}105s10^5s
对水平运动方程的尺度分析：

对xx的分量有：

dudt=−1ρ∂p∂x+2Ωvsin⁡ϕ−2Ωωcos⁡ϕ+Fx\frac{du}{dt} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + 2\Omega v\sin \phi - 2\Omega \omega\cos \phi + F_x

对yy的分量有：

dvdt=−1ρ∂p∂y+2Ωusin⁡ϕ+Fy\frac{dv}{dt} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} + 2\Omega u\sin \phi + F_y

各项尺度包括：

V2L δPρL  f0v  f0W vVH2 \frac{V^2}{L}\ \frac{\delta P}{\rho L}\ \ f_0v\ \ f_0W\ \frac{vV}{H^2}\

其中 dudt\frac{du}{dt}的尺度为速度与平流时间 尺度的比值。

当我们只保留量级最大的项时，即是对方程做了零级简化；一级简化则是除了保留数量级最大的项后再保留比最大项小一个量级的各项。

则对上列式子简化的结果为，其中f=2Ωsin⁡ϕf=2\Omega \sin \phi为地转参数：

零级简化：

0=−1ρ∂p∂x+fv0 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + fv

0=−1ρ∂p∂y−fu0 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} - fu

一级简化：

dudt=−1ρ∂p∂x+fv\frac{du}{dt} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + fv

dvdt=−1ρ∂p∂y−fu\frac{dv}{dt} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} - fu

未完待续
]]> https://www.keitsuki.top/posts/90ba19b/ 2021-11-02T07:45:13.000Z 天气尺度的运动系统，通常是指在天气图上所能分析出的，在气压场和风场中具有结构特征和移动、发展规律的__天气系统__。这种系统属于大尺度的运动系统，是影响大范围天气变化的重要成员，在这种天气尺度的大气运动系统]]> 风场和气压场的关系 2026-04-12T07:40:05.513Z 若木

1936年，图灵在论文中引入了Turing Machine的概念，与此同时他在丘奇门下攻读博士学位。

而后经Kleene证明：λ\lambda演算、Turing Machine 和 Kurt Gödel引入的general recursion 函数等价。并由此提出了一个伟大命题——即任何可计算的东西都能被这三种方式所表达。

而函数式语言起源于 丘奇提出的λ\lambda演算。

λ\lambda 演算

λ\lambda演算是图灵完全的，这个计算模型可以解决任何可以机械计算的问题。

λ\lambda演算是一个形式系统，通过λ\lambda项和变换操作表达计算。

λ\lambda 表达式

其由下列符号组成：

  • 变量：字符或字符串
  • Lambda：λ\lambda
  • 点：.
  • 括号：()

$\lambda \ Term $ 定义：

  1. 一个变量是λ\lambda项，通常用小写字母表示。
  2. 如果M是λ\lambda项，那么λx.M\lambda x.M也是，这种形式称为抽象形式。
  3. 如果M和N都是λ\lambda项，那么 M N 也是，这种形式称为应用形式。

除了以上的三种方式外均不能构成λ\lambda项；并且在以下情况下（即没有歧义）可以省略括号：

  • λ\lambda项最外层的括号可以省略，即MNM N与(MN)(M N)是等价的。
  • MNM N是左结合的，即MNPM N P 与 ((MN)P)((M N)P)是等价的。
  • 如果没有括号约束，抽象形式是尽量向右侧拓展的，即：λx.MN\lambda x.M N与λx.(MN)\lambda x.(M N)等价。

抽象形式λx.M\lambda x.M定义了一个从xx到MM的映射；这个函数没有名称，以xx为参数，MM为输出。

应用形式MNM N表示将NN应用在MM上，类似于函数的调用M(N)M(N)。

规约

以上只是形式化的定义，我们需要定义相应的运动的操作,以使λ\lambda表达式实现演变。

前置知识：

  • 约束变量：在抽象形式的定义中，λx.M\lambda x.M是将输入变量xx绑定到MM表达式中的xx。则MM中的xx为约束变量。
  • 自由变量：不存在上述关系的变量。

替换(Substitution)是规约的基本动作：E[v:=R]E[v:=R]表示用表达式RR替换在表达式EE中出现的自由变量vv。

λ\lambda演算的三种规约

→\rightarrow表示归约过程：

  • α\alpha变换：α\alpha变换允许改变约束变量的名字。例如：λx.x\lambda x.x通过α\alpha变换改变为λy.y\lambda y.y，记为λx.x→λy.y\lambda x.x\rightarrow\lambda y.y。经过α\alpha变换后的λ\lambda项是等价的。
  • β\beta归约：类似于函数求值过程，将替换作用于（应用）。(λx.M)N(\lambda x.M) N的β\beta归约为M[x:=N]M[x:=N]，记为(λx.M)N→M[x:=N](\lambda x.M) N\rightarrow M[x:=N]，它陈述了若所有的。
  • η\eta变换：指出，如果两个函数对于所有的参数都能给出一致的结果，那么这两个函数是等价的。

λ\lambda演算以β\beta归约为主，因为其本质就是函数的调用，对应一组计算步骤，这个步骤重复应用β\beta归约，直到不能再被替换。

例子

$ \lambda x.(\lambda y.(x * x + y * y)) $

表示一个以xx为参数的函数(事实上，这种函数形式称为柯里化形式，且可以证明任何多参函数都可以转化为此种形式，即高阶函数)，返回一个以yy为参数的函数。令x=3,y=4x=3,y=4，则β\beta规约为：

(λx.(λy.(x∗x+y∗y)) 3) 4→(λy.(3∗3+y∗y)) 4→3∗3+4∗4\begin{aligned}(\lambda x.(\lambda y.(x * x + y * y))\ 3)\ 4 \rightarrow (\lambda y.(3 * 3 + y * y))\ 4 \rightarrow 3 * 3+4*4\end{aligned}

规约定理
  1. 一个形如(λx.M) N(\lambda x.M)\ N的λ\lambda项被称为β\beta可约项。如果一个λ\lambda项不含有β\beta可约项，则称其为β\beta范式。若一个λ\lambda项P可以经过β\beta规约到Q，则称Q为P的β\beta范式。
  2. 若P存在β\beta范式，那么该β\beta范式在α\alpha变换下唯一。
  3. 若P存在β\beta范式，那么P最左侧且最外的规约方式总能保证得到这个β\beta范式。
  4. λ\lambda项是否存在β\beta范式是不可判定的。
]]> https://www.keitsuki.top/posts/3d37b63e/ 2021-04-12T13:48:42.000Z

1936年，图灵在论文中引入了Turing Machine的概念，与此同时他在丘奇门下攻读博士学位。

而后经Kleene证明：λ\lambda演算、Turing Machine 和 Kurt Gödel引入的general recursion 函数等价。并由此提出了一个伟大命题——即任何可计算的东西都能被这三种方式所表达。

而函数式语言起源于 丘奇提出的λ\lambda演算。

]]> λ演算（一） 2026-04-12T07:40:05.509Z 若木 题

当我最近阅读haskell教材时，因为对于(->)r类型的applicative functor的实例化的实现有些疑惑（主要是对于函数式编程的不熟悉），所以翻了些stackoverflow的回答解决了我的问题，在此留下一些痕迹。

答

由于haskell的强类型性质，我们可以通过签名进行简单的推断。
<*>实际上就是将一个函子中的函数应用于另一个函子中值的过程。

当类型为(->)r时，<*>的签名变为((->)r->a->b)->(->)r->a->(->)r->b，整理一下：r->a->b->r->a->r->b。这实际上是将一个由参数类型为r的函数返回的函数作用于一个参数类型为r、返回类型为a的函数上的过程，整个过程的返回类型是一个函数，此函数的类型——参数类型为r、返回类型为b）。
而“一个由参数类型为r的函数返回的函数”实际上就是两个参数的函数而已。

所以现在的问题是如何将两个参数的函数应用于r->a类型的函数上。

因为我们想要返回一个函数，这个函数参数类型为r，返回类型为b。那我们如何获得一个b类型的值呢？没错，我们有第一部分r->a->b，因为curry的原因，我们不用顾及第一个参数，我们知道了b类型的来源。但问题是我们同时需要一个a类型的参数来满足a->b函数。Well，还有第二部分——r->a函数，我们用这个部分的返回值来满足之前的参数要求。

所以最后的想法很简单：我们返回一个函数，这个函数有一个参数（类型为r），一个返回值（类型为r->b）：

f<*>g = \x -> f x (g x)
]]> https://www.keitsuki.top/posts/c291fa90/ 2021-04-05T09:30:44.000Z 题

当我最近阅读haskell教材时，因为对于(->)r类型的applicative functor的实例化的实现有些疑惑（主要是对于函数式编程的不熟悉），所以翻了些stackoverflow的回答解决了我的问题，在此留下一些痕迹。

]]> <![CDATA[(->)r 类型如何完成applicative functor的实例化]]> 2026-04-12T07:40:05.509Z