大气科学

大气运动的基本方程组

September 9, 2023 · Updated March 19, 2026

为了便于气象上的应用，我们需要首先导出运动气块的场变量变化率和固定点上场变量变化率的关系。

全导数和局地导数的关系

选取一个要素场变量（如温度）来讨论全导数与局地导数的关系，既便于推导关系式，又利于了解物理意义。

在笛卡尔坐标系中，温度TT可以写为：

T=T(x,y,z,t)T = T(x,y,z,t)

对于一定的气块而言，位置(x,y,z)(x,y,z)是时间tt的函数，所以x=x(t)x = x(t)，y=y(t)y=y(t)，z=z(t)z=z(t)。建设t0t_0时刻气块位于(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)处，经过δt\delta t时间，气块移动到(x0+δx,y0+δy,z0+δz)(x_0 + \delta x , y_0 + \delta y , z_0 + \delta z)处，气块在运动中温度变化了δT\delta T，则δT\delta T
可按泰勒级数展开为：

δT=(∂T∂t)δt+(∂T∂x)δx+(∂T∂y)δy+(∂T∂z)δz+o(T)\delta T = \left(\frac{\partial T}{\partial t}\right)\delta t + \left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)\delta x + \left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)\delta y + \left(\frac{\partial T}{\partial z}\right)\delta z + o(T)

两侧除以δt\delta t，取δ→0\delta \rightarrow 0：

 ⁣dT ⁣dt=∂T∂t+(∂T∂x) ⁣dx ⁣dt+(∂T∂y) ⁣dy ⁣dt+(∂T∂z) ⁣dz ⁣dt\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} T}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \frac{\partial T}{\partial t} + \left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} x}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} y}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \left(\frac{\partial T}{\partial z}\right)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} z}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}

其中 ⁣dT ⁣dt\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} T}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} 是气块运动中温度随时间的变化率，在气象上称为温度的个别变化，也就是场变量的全导数；∂T∂t\frac{\partial T}{\partial t}则是固定位置(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)上温度随时间的变化率，在气象上称为局地变化，也就是场变量的局地导数。

其中 ⁣dx ⁣dt=u\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} x}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = u， ⁣dy ⁣dt=v\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} y}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = v， ⁣dz ⁣dt=ω\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} z}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \omega，分别是气块移动速度在xx，yy，zz方向上的分量。

 ⁣dT ⁣dt=∂T∂t+(∂T∂x)u+(∂T∂y)v+(∂T∂z)ω\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} T}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \frac{\partial T}{\partial t} + \left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)u + \left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)v + \left(\frac{\partial T}{\partial z}\right)\omega

或者：

 ⁣dT ⁣dt=∂T∂t+V⋅∇T∂T∂t= ⁣dT ⁣dt−V⋅∇T\begin{align*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} T}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} &= \frac{\partial T}{\partial t} + \boldsymbol{V} \cdot \nabla T\\\\ \frac{\partial T}{\partial t} &= \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} T}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} - \boldsymbol{V} \cdot \nabla T\\\\ \end{align*}

其中 V\boldsymbol{V}是气块的全速度，∇\nabla是三维微分矢量算子。在气象上V\boldsymbol{V}通常表示水平速度，∇h\nabla_h表示二维微分矢量算子，所以换成气象上常用的形式是：

∂T∂t= ⁣dT ⁣dt−V⋅∇hT−ω∂T∂z\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} T}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} - \boldsymbol{V} \cdot \nabla_h T - \omega \frac{\partial T}{\partial z}

式中−V⋅∇hT-\boldsymbol{V} \cdot \nabla_h T是气块在温度水平分布不均匀的区域内保持原有温度做水平运动而对局地温度变化所提供的贡献，称为温度平流变化。例如：当风由冷区吹向暖区时，平流项是负值，有冷平流，使局地温度降低。
另外−ω∂T∂z-\omega \frac{\partial T}{\partial z}是空气的垂直运动引起的局地变化，称为对流变化。

大气运动相关方程

动量守恒定律建立了惯性坐标系中气块运动的加速度和作用力之和的关系。为了将牛顿第二运动定律应用于旋转坐标系中，首先需要导出绝对坐标系中加速度与相对坐标系之间的关系。

正如前文提到的惯性离心力和地转偏向力一样，由于相对坐标系于绝对坐标系是转动的，因此相对坐标系中的加速度与绝对坐标系中的加速度也是必然不同的。

绝对运动与相对运动的关系绝对运动与相对运动的关系

设起始时刻空气块与观测者都在地面上的PP点，运动开始后经过了δt\delta t时间，空气块移动到了PaP_a点，而观测者跟随地球自转移动到了PeP_e点。在绝对坐标系下，空气块的位移是δar,δar=PPa\delta_a \boldsymbol{r}, \delta_a \boldsymbol{r} = \boldsymbol{PP_a}；在相对坐标系中
看到空气块的位移是δr,δr=PePa\delta \boldsymbol{r}, \delta \boldsymbol{r} = \boldsymbol{P_eP_a}；在绝对坐标系中观测者的位移是δer=PPe\delta_e \boldsymbol{r} = \boldsymbol{PP_e}于是：

δar=δr+δer\delta_a \boldsymbol{r} = \delta \boldsymbol{r} + \delta_e \boldsymbol{r}

当时间很短，位移足够小：

 ⁣dar= ⁣dr+ ⁣der\mathop{}\!\mathrm{d}_a\boldsymbol{r} = \mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{r} + \mathop{}\!\mathrm{d}_e \boldsymbol{r}

两侧同时除以 ⁣dt\mathop{}\!\mathrm{d} t：

 ⁣dar ⁣dt= ⁣dr ⁣dt+ ⁣der ⁣dt\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}_a \boldsymbol{r}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}_e \boldsymbol{r}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}

或者：

Va=V+Ve\boldsymbol{V_a} = \boldsymbol{V} + \boldsymbol{V_e}

此式的意义是，绝对速度等于相对速度与牵连速度之和，牵连速度是地球自转造成的，即：

Ve=Ω×r\boldsymbol{V_e} = \boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{r}

此中Ω\boldsymbol{\Omega}是地球自转角速度，于是：

 ⁣dar ⁣dt= ⁣dr ⁣dt+Ω×r=( ⁣d ⁣dt+Ω×)r\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}_a \boldsymbol{r}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r} = \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \boldsymbol{\Omega} \times\right)\boldsymbol{r}

或：

Va=V+Ω×r\boldsymbol{V_a} = \boldsymbol{V} + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}

可以证明这种关系对于其他向量，例如绝对速度Va\boldsymbol{V_a}，也同样适用：

 ⁣daVa ⁣dt=( ⁣d ⁣dt+Ω×)Va\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}_a \boldsymbol{V_a}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \boldsymbol{\Omega} \times\right)\boldsymbol{V_a}

再以Va=V+Ω×r\boldsymbol{V_a} = \boldsymbol{V + \Omega \times r} 带入上式，得：

 ⁣daVa ⁣dt=( ⁣d ⁣dt+Ω×)(V+Ω×r)= ⁣dV ⁣dt+Ω× ⁣dr ⁣dt+Ω×V+Ω×(Ω×r)= ⁣dV ⁣dt+2Ω×V+Ω×(Ω×r)\begin{align*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}_a \boldsymbol{V_a}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} &= \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \boldsymbol{\Omega} \times\right)(\boldsymbol{V} + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}) \\\\ &= \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{V}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \boldsymbol{\Omega} \times \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{V} + \boldsymbol{\Omega} \times (\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r})\\\\ &= \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{V}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + 2\Omega \times \boldsymbol{V} + \boldsymbol{\Omega} \times (\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}) \end{align*}

这就是绝对加速度和相对加速度的关系，可以看到视示力的作用，其中2Ω×V2\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{V} 为地转偏向加速度，Ω×(Ω×r)\boldsymbol{\Omega} \times (\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r})为向心加速度。

大气运动方程

在惯性系中，牛二定律可以写作：

 ⁣daVa ⁣dt=∑iFi\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}_a \boldsymbol{V_a}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \sum_i F_i

等式右侧是作用于空气块的真实力之和。真实力包括气压梯度力、地心引力和摩擦力。因此：

 ⁣daVa ⁣dt=−1ρ∇p+g∗+F\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}_a \boldsymbol{V_a}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \boldsymbol{g^*} + \boldsymbol{F}

带入前式：

 ⁣dV ⁣dt=−1ρ∇p−2Ω×V+g+F\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{V}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = -\frac{1}{\rho}\nabla p - 2\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{V} + \boldsymbol{g} + \boldsymbol{F}

球坐标系中的分量方程

为了进行计算，常常需要将向量形式的运动方程展开为标量分量形式的方程。为了便于气象应用，通常采用局地直角坐标系或者球坐标系进行分解。由于局地直角坐标系实际上就是忽略地球曲率的球坐标系简化形式，因此在这里首先讨论球坐标系。

地球的形状与正球体的差别很小，因此通常将其近似为一个球体在气象上的处理影响完全可以忽略。

球坐标系球坐标系

在球坐标系中，三个坐标轴为(λ,ϕ,r)(\lambda, \phi, r)，地球水平面相当于坐标平面，例如空气质点位于PP点时，其位置坐标可以表示为(λ,ϕ,r)(\lambda, \phi, r)，其中λ\lambda为经度，ϕ\phi为纬度，rr为球心至PP点的距离。i,j,ki,j,k为在PP点与纬圈相切指向东、与经圈相切指向北，以及指向天顶的单位向量。

取u,v,wu,v,w分别表示相对速度V\boldsymbol{V}在球坐标系i,j,k\boldsymbol{i,j,k}三个方向的分量，则：

V=ui+vj+ωk\boldsymbol{V} = u\boldsymbol{i} + v\boldsymbol{j} + \omega \boldsymbol{k}

设PP点处沿着i,j,k\boldsymbol{i,j,k}方向的微小线元分别为δx,δy\delta x, \delta y和δz\delta z，则：

{δx=rcos⁡ϕδλδy=rδϕδz=δr\begin{align*} \left\{ \begin{array}{ll} \delta x &= r\cos{\phi}\delta \lambda\\\\ \delta y &= r\delta \phi\\\\ \delta z &= \delta r \end{array} \right .\end{align*}

相同的：

{u≡ ⁣dx ⁣dt=rcos⁡ϕ ⁣dλ ⁣dtv≡ ⁣dy ⁣dt=rδ ⁣dϕ ⁣dtω≡ ⁣dz ⁣dt= ⁣dr ⁣dt\begin{align*} \left\{ \begin{array}{ll} u &\equiv \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} x}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = r\cos{\phi}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \lambda}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\\\\ v &\equiv \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} y}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = r\delta \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \phi}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\\\\ \omega &\equiv \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} z}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} r}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} \end{array} \right. \end{align*}

设A(λ,ϕ,r,t)A(\lambda, \phi, r, t)为任一场变量，则有：

 ⁣dA ⁣dt=∂A∂t+∂A∂λ ⁣dλ ⁣dt+∂A∂ϕ ⁣dϕ ⁣dt+∂A∂r ⁣dr ⁣dt=∂A∂t+urcos⁡ϕ∂A∂λ+vr∂A∂ϕ+ω∂A∂r\begin{align*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} A}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} &= \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial A}{\partial \lambda}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \lambda}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \frac{\partial A}{\partial \phi}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \phi}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \frac{\partial A}{\partial r}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} r}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\\\\ &= \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial A}{\partial \lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial A}{\partial \phi} + \omega \frac{\partial A}{\partial r} \end{align*}

由此，球坐标系中的欧拉算子为：

 ⁣d ⁣dt=∂∂t+urcos⁡ϕ∂∂λ+vr∂∂ϕ+ω∂∂r\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \frac{\partial}{\partial t} + \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial}{\partial \lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial}{\partial \phi} + \omega \frac{\partial}{\partial r}

由于i,j,ki,j,k是随位置变化的，因此，在球坐标系下加速度写为：

 ⁣dV ⁣dt= ⁣du ⁣dti+ ⁣dv ⁣dtj+ ⁣dω ⁣dtk+u ⁣di ⁣dt+v ⁣dj ⁣dt+ω ⁣dk ⁣dt\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{V}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} = \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} u}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\boldsymbol{i} + \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} v}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\boldsymbol{j} + \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \omega}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\boldsymbol{k} + u \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{i}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + v \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{j}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} + \omega \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{k}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}

利用欧拉算子， ⁣di ⁣dt\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{i}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} 可表示为：

 ⁣di ⁣dt=∂i∂t+urcos⁡ϕ∂i∂λ+vr∂i∂ϕ+ω∂i∂r∂i∂t=∂i∂ϕ=∂i∂r=0 ⁣di ⁣dt=urcos⁡ϕ∂i∂λ\begin{align*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} i}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} &= \frac{\partial i}{\partial t} + \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial i}{\partial \lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial i}{\partial \phi} + \omega \frac{\partial i}{\partial r}\\\\ \frac{\partial i}{\partial t} &= \frac{\partial i}{\partial \phi} = \frac{\partial i}{\partial r} = 0\\\\ \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} i}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} &= \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial i}{\partial \lambda} \end{align*}

 ⁣dj ⁣dt\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{j}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} 表示为：

 ⁣dj ⁣dt=∂j∂t+urcos⁡ϕ∂j∂λ+vr∂j∂ϕ+ω∂j∂r=urcos⁡ϕ∂j∂λ+vr∂j∂ϕ\begin{align*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} j}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} &= \frac{\partial j}{\partial t} + \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial j}{\partial \lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial j}{\partial \phi} + \omega \frac{\partial j}{\partial r}\\\\ &= \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \phi} \end{align*}

 ⁣dk ⁣dt\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \boldsymbol{k}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} 表示为：

 ⁣dk ⁣dt=∂k∂t+urcos⁡ϕ∂k∂λ+vr∂k∂ϕ+ω∂k∂r=urcos⁡ϕ∂k∂λ+vr∂k∂ϕ\begin{align*} \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} k}{\mathop{}\!\mathrm{d} t} &= \frac{\partial k}{\partial t} + \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial k}{\partial \lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial k}{\partial \phi} + \omega \frac{\partial k}{\partial r}\\\\ &= \frac{u}{r\cos{\phi}}\frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \phi} \end{align*}

后续会对上述分量进行简化。

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