简单整理一下本科考试云降水中试卷中分值占比最高，且重复率极高的部分

连续碰并增长方程的推导

利用收集滴半径$R$、末速度$U$、云滴谱 $n(r)$ 和碰并效率$E(r)$推导半径增长率 $dR/dt$与云含水量$W$的关系

物理模型假设

假设一个半径为 $R$ 的大收集滴，以膜速度$U(R)$下落，穿过由半径为 $r$的微滴组成的微滴群。微滴群的数密度尺度谱分布为$n(r)$，大收集滴与微滴之间的碰并效率为 $E(R,r)$

单位时间内扫过的空间体积

大水滴在下落过程中会扫过一个几何截面。在单位时间内，半径为 $R$ 的收集滴相对于半径为 $r$的微滴扫过的空间体积为：

$$\frac{dV}{dt} = \pi(R + r)^2 [u(R) - u(r)]$$

其中 $[u(R) - u(r)]$是两滴之间的相对末速度。

被碰并的微滴水与总体积增加率

在上述体积内，半径在 $r$和$r+ dr$之间的平均微滴数目为该体积乘以数密度$n(r)$和碰并效率 $E$。对所有微滴进行积分，可以得到大滴总体积 $v$的增加速率：

$$\frac{dv}{dt} = \int_0^R \frac{4}{3} \pi r^3 \cdot \pi (R+r)^2 [u(R)-u(r)] E(R,r) n(r) dr$$

转换为半径增长率

已知球形水滴的体积 $v = \frac{4}{3} \pi R^3$，其导数为 $\frac{dv}{dt} = 4 \pi R^2 \frac{dR}{dt}$。通过代换，可以得到大滴半径增长率 $dR/dt$的一般形式：

$$\frac{dR}{dt} = \frac{1}{4\pi R^2} \int_0^R \frac{3}{4} \pi r^3 \cdot \pi (R+r)^2 [u(R)- u(r)] E(R,r) n(r) dr$$

引入云含水量进行简化推导

在实际计算中，通常进行以下假设：

• $R \gg r$ 收集滴的半径远大于被收集的液滴，因此 $R +r \approx R$
• 忽略液滴末速度：$u(r) \approx 0$
• 碰并效率取平均值： 取$E$为微滴群碰并效率的有效平均

此时，方程简化为

$$\frac{dR}{dt} = \frac{u(R)E}{4} \int_0^R \frac{3}{4}\pi r^3 n(r) dr$$

由于云的液态水含量 $W$定义为：

$$W = \rho_w \int_0^\infty \frac{4}{3} \pi r^3 n(r) dr$$

将 $W$带入上式，即可导出 $dR / dt$与云含水量 $W$的关系

$$\frac{dR}{dt} = \frac{E W u(R)}{4\rho_w}$$

水滴质量/粒径扩散增长方程

推导水汽扩散率 $D$作用下的基本增长方程，并讨论其与粒径成反比的特征。

柯拉 (Köhler) 方程与平衡曲线

要求推导临界半径 $r_c$和临界相对湿度$f_c$ 的表达式，绘出平衡曲线，并阐述液滴如何响应环境湿度变化（稳定态、亚稳态、霾滴/霾点）。

云滴谱分布计算 (Khrgian-Mazin 分布)

要求利用该分布函数求解云的数密度 $N$、含水量 $W$、雷达反射率因子 $Z$以及能见度，并讨论  $W$ 与 $Z$的关系