简单整理一下本科考试云降水中试卷中分值占比最高，且重复率极高的部分

连续碰并增长方程的推导

利用收集滴半径$R$、末速度$U$、云滴谱 $n(r)$ 和碰并效率$E(r)$推导半径增长率 $dR/dt$与云含水量$W$的关系

物理模型假设

假设一个半径为 $R$ 的大收集滴，以膜速度$U(R)$下落，穿过由半径为 $r$的微滴组成的微滴群。微滴群的数密度尺度谱分布为$n(r)$，大收集滴与微滴之间的碰并效率为 $E(R,r)$

单位时间内扫过的空间体积

大水滴在下落过程中会扫过一个几何截面。在单位时间内，半径为 $R$ 的收集滴相对于半径为 $r$的微滴扫过的空间体积为：

$$\frac{dV}{dt} = \pi(R + r)^2 [u(R) - u(r)]$$

其中 $[u(R) - u(r)]$是两滴之间的相对末速度。

被碰并的微滴水与总体积增加率

在上述体积内，半径在 $r$和$r+ dr$之间的平均微滴数目为该体积乘以数密度$n(r)$和碰并效率 $E$。对所有微滴进行积分，可以得到大滴总体积 $v$的增加速率：

$$\frac{dv}{dt} = \int_0^R \frac{4}{3} \pi r^3 \cdot \pi (R+r)^2 [u(R)-u(r)] E(R,r) n(r) dr$$

转换为半径增长率

已知球形水滴的体积 $v = \frac{4}{3} \pi R^3$，其导数为 $\frac{dv}{dt} = 4 \pi R^2 \frac{dR}{dt}$。通过代换，可以得到大滴半径增长率 $dR/dt$的一般形式：

$$\frac{dR}{dt} = \frac{1}{4\pi R^2} \int_0^R \frac{3}{4} \pi r^3 \cdot \pi (R+r)^2 [u(R)- u(r)] E(R,r) n(r) dr$$

引入云含水量进行简化推导

在实际计算中，通常进行以下假设：

• $R \gg r$ 收集滴的半径远大于被收集的液滴，因此 $R +r \approx R$
• 忽略液滴末速度：$u(r) \approx 0$
• 碰并效率取平均值： 取$E$为微滴群碰并效率的有效平均

此时，方程简化为

$$\frac{dR}{dt} = \frac{u(R)E}{4} \int_0^R \frac{3}{4}\pi r^3 n(r) dr$$

由于云的液态水含量 $W$定义为：

$$W = \rho_w \int_0^\infty \frac{4}{3} \pi r^3 n(r) dr$$

将 $W$带入上式，即可导出 $dR / dt$与云含水量 $W$的关系

$$\frac{dR}{dt} = \frac{E W u(R)}{4\rho_w}$$

水滴质量/粒径扩散增长方程

推导水汽扩散率 $D$作用下的基本增长方程，并讨论其与粒径成反比的特征。

水汽扩散率 $D$被定义为，在单位水汽密度梯度作用下，单位时间内通过垂直于梯度的单位面积的水汽扩散质量。

$$\frac{dM}{dt} = D \cdot A \cdot \frac{d \rho_w}{dx}$$

假设一个半径为 $r$的球形液滴处于稳定水汽场中。在距离球心为$x(x \geq r)$处，扩散面积为 $A = 4\pi x^2$。

将面积带入定义

$$\frac{dM}{dt} = 4\pi x^2 D \frac{d\rho_w}{dx}$$

变量分离积分

$$\int_r^\infty \frac{dM/dt}{4\pi D x^2} dx = \int_{\rho0}^{\rho 1} d \rho_w$$

得到结论

$$\frac{dM}{dt} = 4\pi r D(\rho_1 - \rho_0)$$

该式子表明质量增长率与半径$r$成正比，半径越大，质量增长越快。

柯拉 (Köhler) 方程与平衡曲线

要求推导临界半径 $r_c$和临界相对湿度$f_c$ 的表达式，绘出平衡曲线，并阐述液滴如何响应环境湿度变化（稳定态、亚稳态、霾滴/霾点）。

柯拉方程

一个可溶性小液滴表面表面所对应的平衡饱和水汽压，既收到曲率影响，也受到溶质影响。

Kelven 方程

半径为 $r$的弯曲液滴表面，其平衡饱和水汽压 $E_r$与平面饱和水汽压$E_\infty$的关系。

从化学势平衡出发：

液滴表面达到气液平衡时，液相中水的化学势和气相中水汽的化学势相等。

$$\mu_l (r,p_l,T) = \mu_v(e_p,T)$$

对于平液面也是一样：

$$\mu_l (\infty,p_l,T) = \mu_v(e_\infty,T)$$

两式相减

$$\mu_l (r,p_l,T) - \mu_l (\infty,p_l,T) = \mu_v(e_p,T) - \mu_v(e_\infty,T)$$

化学势的变化量：

$$d\mu = -s dT + v dp$$

在等温过程下，右侧第一项去掉，在左侧液相侧，液态水近似不可压缩

$$d\mu_l = v_l dp$$

$$\mu_l(T,p_l) - \mu_l(T, p_\infty) = v_l (p_l - p_\infty)$$

右侧气相侧，把水汽看作理想气体

$$d \mu_v = \frac{RT}{p} dp$$

从 $E_\infty$ 积分到$E_r$

$$\mu_v(T, E_r) - \mu_v(T, E_\infty) = RT \ln \frac{E_r}{E_\infty}$$

所以有

$$\ln \frac{E_r}{E_\infty} = \frac{v_l(p_l-p_\infty)}{RT}$$

引入 Laplace 压差

$$p_l - p_\infty \approx \frac{2\sigma}{r}$$

那就得到了

$$\ln \frac{E_r}{E_\infty} = \frac{2\sigma M_w}{\rho_wRT}\cdot \frac{1}{r}$$

拉乌尔定律

在理想稀溶液中，某组分在溶液表面上的平衡蒸气压，等于它在纯态时的蒸气压乘以它在溶液中的摩尔分数。

如果我们只关心水，那就写成

$$e = e_0x_w$$

其中：

• $e$：溶液表面的平衡水汽压
• $e_0$：纯水平面上的平衡水汽压
• $x_w$：水的摩尔分数

如果溶液里只有水+溶质，那么

$$x_w = \frac{N}{N+n}$$

其中：

• $N$：水的摩尔数
• $n$：溶质的摩尔数

于是拉乌尔定律就写成

$$\frac{e}{e_0} = \frac{N}{N+n}$$

如果溶质时电解质，比如 $NaCl$，会解离为两个离子，那么有效粒子数要乘上一个因子，例如氯化钠

$$\frac{e}{e_0} = \frac{N}{N+2n}$$

溶液里只要掺进了别的物质，水的蒸气压就会降低。

如果溶质很少，$n \ll N$，那么

$$\frac{N}{N+n} \approx 1 - \frac{n}{N}$$

所以

$$\frac{e}{e_0} \approx 1 - \frac{n}{N}$$

结合两个效应：

Kelven效应：

$$\frac{E_r}{E_\infty} = \exp(\frac{2\sigma M_w}{\rho_wRT} \cdot \frac{1}{r})$$

泰勒展开

$$\frac{E_r}{E_\infty} \approx 1 + c_r \frac{1}{r}$$

拉乌尔定律：

$$\frac{E_r}{E_\infty} \approx 1 - \frac{c_n}{r^3}$$

因为液滴中水的量与体积成正比，体积与$r^3$成正比

所以

$$\frac{E_r}{E_\infty} \approx (1 + \frac{c_r}{r})(1 - \frac{c_n}{r^3})$$

展开略去高阶小项

$$\frac{E_r}{E_\infty} = 1 + \frac{c_r}{r} - \frac{c_n}{r^3}$$

计算临界半径$r_c$

令

$$S(r) \equiv \frac{E_r}{E_\infty}$$

对$S(r)$求导，得

$$\frac{dS}{dr} = -\frac{c_r}{r^2} + \frac{3c_n}{r^4}$$

令 $\frac{dS}{dr}= 0$，于是

$$r_c = \left(\frac{3c_n}{c_r}\right)^{1/2}$$

再把 $r_c$带回方程，可得到临界饱和比

$$S_c = 1 + \left(\frac{4c_r^3}{27c_n}\right)^{1/2}$$

云滴谱分布计算 (Khrgian-Mazin 分布)

要求利用该分布函数求解云的数密度 $N$、含水量 $W$、雷达反射率因子 $Z$以及能见度，并讨论  $W$ 与 $Z$的关系