描述了单组分系统在相平衡（如液滴与环境水汽平衡）时，饱和水汽压（$e_s$）随温度（$T$）变化的速率。其基本形式为：

$$\frac{de_s}{dT} = \frac{L}{T(v_2 - v_1)}$$

克劳修斯-克拉伯龙方程的推导

推导的核心起点是吉布斯自由能（Gibbs Free Energy）。单位物质的吉布斯函数通常称为化学势，用 $\mu$ 表示。

$$\mu = u + p\alpha - Ts$$

$$d \mu = -s dT + \alpha dp$$

其中：

• $u$ 为单位物质的内能
• $p$ 为压力
• $\alpha$ 为单位物质的体积
• $T$ 为温度
• $s$ 为单位物质的熵

根据热力学理论，当水和水汽两相平衡时，必须满足热平衡条件、力学平衡和相变平衡：

$$\begin{align*} T_1 = T_2 = T\\ p_1 = p_2 = p\\ \mu_1 = \mu_2 \end{align*}$$

当沿着相平衡曲线由 $(T,p)$ 移动到 $(T+dT, p+dp)$ 时，两相的化学势必须保持相等：

$$d\mu_1 = d\mu_2$$

代入 $d\mu$ 的表达式：

$$-s_1 dT + \alpha_1 dp = -s_2 dT + \alpha_2 dp$$

整理得到：

$$(s_2 - s_1)dT = (\alpha_2 - \alpha_1)dp$$

$$\frac{dp}{dT} = \frac{s_2 - s_1}{\alpha_2 - \alpha_1}$$

其中：

• $s_2 - s_1$ 为相变潜热 $L$ 除以温度 $T$：

$$L = T(s_2 - s_1)$$

• $\alpha_2 - \alpha_1$ 为相变体积差 $\Delta \alpha$：

$$\Delta \alpha = \alpha_2 - \alpha_1$$

于是得到克劳修斯-克拉伯龙方程：

$$\frac{dp}{dT} = \frac{L}{T\Delta \alpha}$$

饱和水汽压的计算

对于水和水汽的平衡，有：

$$\frac{de_s}{dT} = \frac{L_v}{T(v_v - v_l)}$$

其中：

• $e_s$ 为饱和水汽压
• $L_v$ 为水汽的汽化潜热
• $v_v$ 为水汽的单位体积
• $v_l$ 为液态水的单位体积

由于 $v_v \gg v_l$，可以忽略 $v_l$：

$$\frac{de_s}{dT} = \frac{L_v}{T v_v}$$

根据理想气体状态方程：

$$v_v = \frac{R_v T}{e_s}$$

代入上式：

$$\frac{de_s}{dT} = \frac{L_v e_s}{R_v T^2}$$

整理得到：

$$\frac{de_s}{e_s} = \frac{L_v}{R_v T^2} dT$$

积分得到：

$$\ln e_s = -\frac{L_v}{R_v T} + C$$

其中 $C$ 为积分常数，可以通过实验数据确定。