大气科学

云降水和大气物理学（四）

March 17, 2026 · Updated March 19, 2026

大气热力学的预备知识

气块模型

指宏观上足够小而微观上又大到含有大量分子的封闭空气团，其内部可以包含水汽、液态水和固态水。
此气块内 TT，PP 和湿度等都呈现均匀分布，各个物理量服从热力学定律和状态方程。气块运动时是绝热的，遵从准静力条件，环境大气处于静力平衡。

p=pe p = p_e

dpedz=−ρeg\frac{dp_e}{dz} = - \rho_e g

热力学第一定律

设某系统经历一个无限小过程，内能改变量 +dU+d U，从外界吸热 +δQ+\delta Q，外界做功 +δA+\delta A

dU=δQ+δAd U= \delta Q + \delta A

公式中 dUdU 代表在无限靠近的初、终状态内能值的微量差，由于热量和功并不是状态函数，只是与过程有关的无限小量，故用 δQ\delta Q 和 δA\delta A 表示。

热流量方程

常温常压下空气块可以视作理想气体，对于单位质量的空气块，根据焦耳内能定律，有：

dU=cvdTdU = c_v dT

假设仅仅考虑膨胀做功：

δA=−pdV\delta A = - p dV

气块满足准静力条件：

p=pep = p_e

热力学第一定律的表示：

dU=δQ−pdVdU = \delta Q - pdV

对于理想气体，内能仅仅是温度 TT的函数：

dQ=cvdT+pdαdQ = c_v dT + p d\alpha

cvc_v 是湿空气的必定容热容，α\alpha 为比体积，QQ 为单位质量空气的热量。由于空气体积不是直接测量的气象要素，根据状态方程，以及比定压热容cpc_p和比定容热容cvc_v的关系

pα=RTcp−cv=RdQ=cvdT+pdα\begin{align*} p \alpha = RT\\ c_p - c_v = R\\ dQ = c_v dT + p d\alpha \end{align*}

δQ=cpdT−αdp\delta Q = c_p dT - \alpha dp

大气能量的基本形式

  • 单位质量空气的内能
  • 单位质量空气的位能，重力位势
  • 单位质量空气的动能 Ek=1/2(u2+v2+w2)=1/2V2E_k = 1/2(u^2 + v^2 + w^2) = 1/2 V^2
  • 单位追浪空气的潜热能 EL=LqE_L = Lq

比熵和比焓

熵和焓都是广延量，总熵和总焓与系统的质量或摩尔数成正比。对于某种物质质量为 mm 的单相系，有总熵 S=msS = ms 及总焓 H=mhH=mh，其中 ss 和 hh 是单位质量的熵和焓，分别称为比熵和比焓。

比熵和比焓的计算通常以 pp 、TT 为自变量，因此将他们写成以下的形式：

ds=(∂s∂T)pdT+(∂s∂T)Tdp ds = \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_p dT + \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_T dp

dh=(∂h∂T)pdT+(∂h∂p)Tdp dh = \left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_p dT + \left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_T dp

dH=TdS+VdpdH = TdS + Vdp

将其稍微变换一下

ds=1Tdh+αTdpds = \frac{1}{T}dh + \frac{\alpha}{T}dp

式子中 α\alpha 是比容 V/mV/m，

ds=1T(∂h∂T)pdT+1T[(∂h∂p)T−α]dpds = \frac{1}{T} \left(\frac{\partial h}{\partial T }\right)_p dT + \frac{1}{T} \left[\left(\frac{\partial h}{\partial p }\right)_T - \alpha \right] dp

我们知道 ∂h∂Tp=cp\frac{\partial h}{\partial T}_p = c_p，并且根据麦克斯韦关系：

(∂s∂p)T=−(∂α∂T)p\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_T = -\left(\frac{\partial \alpha}{\partial T}\right)_p

因此：

ds=(∂s∂p)Tdpds = \left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_T dp

带入

dh=Tds+αdpdh = Tds + \alpha dp

(∂h∂p)T=T(∂s∂p)T+α=α−T(∂α∂T)p\left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_T = T\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_T + \alpha = \alpha - T\left(\frac{\partial \alpha}{\partial T}\right)_p

ds=cpTdT−(∂α∂T)pdp=cpdln⁡T−αβpdp(1)ds = \frac{c_p}{T}dT - \left(\frac{\partial \alpha}{\partial T}\right)_p dp = c_p d \ln{T} - \alpha \beta_p dp \tag{1}

我们定义 βp\beta_p 为定压膨胀系数：

βp=1α(∂α∂T)p\beta_p = \frac{1}{\alpha}\left(\frac{\partial \alpha}{\partial T}\right)_p

同样地

dh=cpdT+α(1−Tβp)dpdh = c_p dT + \alpha ( 1 - T \beta_p) dp

大气中的干绝热过程

绝热过程是系统与外界无热量交换的过程。
干绝热过程是指干空气或者未饱和湿空气的绝热过程，例如干空气块的升降。

干绝热方程

根据前面的热力学第一定律形式：

dQ=cpdT−αdpdQ = c_p dT - \alpha dp

dQ=0dQ =0，进行整理

0=cpdT−RvTpdp0 = c_p dT - \frac{R_v T}{p} dp

dT=RTcpdppdT = \frac{RT}{c_p}\frac{dp}{p}

两边整理积分得到：

TT0=(pp0)Rcp\frac{T}{T_0}= \left(\frac{p}{p_0}\right)^{\frac{R}{c_p}}

公式就是干空气或未饱和湿空气的绝热方程，也称为泊松方程。通常我们令 κ=R/cp\kappa = R/c_p，则有：

TT0=(pp0)κ\frac{T}{T_0}= \left(\frac{p}{p_0}\right)^{\kappa}

干绝热递减率

作干绝热升降运动的气块温度随高度的变化率称为干绝热递减率。

γd=−dTdz\gamma_d = - \frac{dT}{dz}

在热流量方程中 令 dQ=0dQ = 0，并整理得到

dT=RvTcp⋅−ρegdzρeReTedT = \frac{R_vT}{c_p} \cdot \frac{-\rho_e g dz}{\rho_e R_e T_e}

由于 T≈TeT \approx T_e，Rv≈ReR_v \approx R_e，Cp≈CpdC_p \approx C_{pd}，因此可以近似为

dT≈−gcpd⋅dzdT \approx - \frac{g}{c_{pd}} \cdot dz

所以 γd≈0.98(K/100m)\gamma_d \approx 0.98(K/100m)

位温

把空气块干绝热膨胀或压缩到标准气压时应该有的温度。用θ\theta表示，其定义式为

θ=T(p00p)κ\theta = T \left(\frac{p_{00}}{p}\right)^{\kappa}

其中 p00p_{00} 为标准气压，κ=R/cp\kappa = R/c_p。

θ\theta 的守恒性

两边取对数：

dθθ=dTT−κdpp\frac{d \theta}{\theta} = \frac{dT}{T} - \kappa \frac{dp}{p}

对热流量方程，两边同时除以 cpTc_p T，则有：

dQcpT=dTT−Rcpdpp\frac{dQ}{c_p T} = \frac{dT}{T} - \frac{R}{c_p} \frac{dp}{p}

将上式与位温的定义式进行比较，可以发现：

dθθ=dQcpT\frac{d\theta}{\theta} = \frac{dQ}{c_pT}

由上式可以的出，空气块吸热，位温增加；放热位温降低，干绝热过程是等熵过程，位温保持不变，即干绝热过程中 θ\theta 是守恒量。

位温垂直分布与大气垂直减温率

1θ∂θ∂z=1T(∂T∂z−κT1p∂p∂z)=−1TΓ+1Tγv∂θ∂z≈θT(γv−Γ) \begin{align*} \frac{1}{\theta} \frac{\partial \theta}{\partial z} &= \frac{1}{T} \left( \frac{\partial T}{\partial z} - \kappa T \frac{1}{p} \frac{\partial p}{\partial z} \right) \\ &=- \frac{1}{T} \Gamma + \frac{1}{T} \gamma_v\\ \frac{\partial \theta}{\partial z} &\approx \frac{\theta}{T} \left( \gamma_v - \Gamma \right) \end{align*}

其中 Γ=−∂T∂z\Gamma = - \frac{\partial T}{\partial z} 称为大气温度直减率。因此，位温的垂直变化率是和 γd−Γ\gamma_d - \Gamma 成正比的。在对流层内，一般情况下大气垂直减温率 Γ>γd\Gamma > \gamma_d，所以 ∂θ∂z>0\frac{\partial \theta}{\partial z} > 0，即位温随高度增加而增加，

大气中的湿绝热过程

可逆湿绝热过程

水汽相变产生的水成物不脱离原气块，始终跟随气块上升或者下降，所释放的潜热也全部保留在气块内部。这种过程称为可逆湿绝热过程，也称为湿绝热过程。

可逆饱和湿绝热过程可以用一个等熵过程来表示，也就是 ds=0ds = 0

干空气的熵：

dsd=cpddln⁡T−Rddln⁡pdd s_d = c_pd d \ln T - R_d d \ln p_d

假绝热过程

水汽相变产生的水成物全部脱离气块，但所释放的潜热仍留在气块内。这种过程称为假绝热过程。

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