大气科学

大气运动的基本特征

September 7, 2023 · Updated March 19, 2026

大气运动基本特征

大气被视为连续的流体介质，表征大气状态的物理变量在大气连续介质中具有单一的值，这些场变量和他们的导数是空间和时间的连续函数。

影响大气运动的作用力

牛顿第二定律适用于惯性系，单位质量空气块相对于空间固定坐标系的运动加速度等于所有作用力之和。这里的力是真实作用于大气的力，一般称为“基本力”或“牛顿力”。对于自转的地球而言，还需要考虑视示力，如惯性离心力和地转偏向力。

  • 气压梯度力: 气压分布不均匀时，气块就会受到一种静压力的作用，作用于单位质量气块上的静压力称为气压梯度力。
  • 地心引力: 宇宙间任何两个物体之间都具有引力，其大小与两物体的质量乘积成正比，与两物体之间距离的平方成反比。
  • 摩擦力: 大气是一种粘性流体，同任何实际流体一样都受到内摩擦的影响。

气压梯度力

我们把气块是为一个微立方体，取局地直角坐标系，其体积为V=δxδyδzV = \delta x \delta y \delta z。
设周围大气作用于B上的压力为pδyδzp\delta y \delta z，则作用于A面上的压力应为−(p+∂p∂xδx)δyδz-\left(p+\frac{\partial p}{\partial x}\delta x\right)\delta y \delta z。

xx 方向上周围大气作用于体积元上的静压力之和为：

pδyδz−−(p+∂p∂xδx)δyδz=−∂p∂xδxδyδzp\delta y\delta z - -\left(p+\frac{\partial p}{\partial x}\delta x\right)\delta y \delta z = -\frac{\partial p}{\partial x}\delta x \delta y\delta z

其余方向类似，因此总静压力为三个方向的和：

−∇pδxδyδz-\nabla p \delta x \delta y \delta z

设气块密度为ρ\rho，该体积元所含的大气质量为 m=ρδxδyδzm=\rho \delta x \delta y \delta z，所以单位质量气块上的静压力为：

−1ρ∇p-\frac{1}{\rho} \nabla p

Figure 1: 体积元气块Figure 1: 体积元气块

地心引力

万有引力公式：

Fg=−GMmr2(r⃗r)\mathcal{F}_g = - \frac{GMm}{r^2}(\frac{\vec{r}}{r})

GG 照惯例为引力常数。假设地球质量为MM，气块质量为mm，那么地球对单位质量气块的引力为：

Fgm=−GMru2(r⃗r)=g∗\frac{\mathcal{F}_g}{m} = - \frac{GM}{r_u^2}\left(\frac{\vec{r}}{r}\right) = \boldsymbol{g}^*

假设地球平均半径为aa，zz为海拔高度，则上式可写成：

g∗=−GM(a+z)2(r⃗r)=−GMa2⋅1(1+z/a)2(r⃗r)=g0∗(1+z/a)2g0∗=−GMa2(r⃗r)\begin{aligned} \boldsymbol{g}^* = - \frac{GM}{(a + z)^2}\left(\frac{\vec{r}}{r}\right) &= -\frac{GM}{a^2}\cdot \frac{1}{(1 + z/a)^2}(\frac{\vec{r}}{r}) = \frac{\boldsymbol{g}_0^*}{(1 + z/a)^2}\\\\ \boldsymbol{g}_0^* &= - \frac{GM}{a^2}(\frac{\vec{r}}{r}) \end{aligned}

(2)(2) 式是海平面上的地心引力， zz 一般仅为数十千米，aa可达六千多千米，因此 g∗≈g0∗\boldsymbol{g}^* \approx \boldsymbol{g}_0^*，可作为常数。

摩擦力

分子运动论的观点——任一瞬间分子的不规则运动会引起动量的上下传递。由上向下穿过任一zz平面的分子携带较大的动量使下层的uu增大，向上穿过任一zz平面的分子携带较小的动量使上层的uu减小。（∂u∂z>0\frac{\partial u}{\partial z} > 0）

宏观视角下，不同层间由于速度切边必然存在作用力与反作用力，这种作用力是因流体粘性引起的切变流中的粘滞力。实验表明的是，这种粘滞力与uu的垂直切变与流体层间的作用面积成正比：

fz x=μA∂u∂zf_{z\ x} = \mu A\frac{\partial u}{\partial z}

μ\mu是动力粘滞系数。AA是面积，令τz x\tau_{z\ x}表示作用于单位面积上的粘滞力，则：

τz x≡μ∂u∂z\tau_{z\ x} \equiv \mu\frac{\partial u}{\partial z}

显而易见的是切应力与 ∂u∂z\frac{\partial u}{\partial z}成正比，而不是与uu本身成比例，在uu随高度成线性分布的条件下，每一层上下收到的切应力大小相等方向相反，因此没有净粘滞力。

大气是一种低粘性流体，除了在近地面几厘米的薄层内因风的垂直切变很大需要考虑分子粘性外，在其他气层都可忽略该效应。

惯性离心力

我将以下几种视示力称为“将非惯性系视为惯性系的补偿”。如果我们站在随球一起转动的坐标系中来观察，发现球是静止的。但向心力是真实存在的，但这是与牛二违背的，因此我们在这个坐标系中引入一个力，其大小与向心力大小相等、方向相反，这个“力”使得坐标系静止。
所以惯性离心力表示为：

C=Ω2R\boldsymbol{C} = \Omega^2 \boldsymbol{R}

地转偏向力

**当物体相对旋转坐标系运动时，在旋转坐标系中引入的视示力。**地球自转角速度Ω\Omega在x,y,zx,y,z方向的投影分量分别是：

Ωx=0Ωy=Ωcos⁡ϕΩz=Ωsin⁡ϕ\begin{align*} \Omega_x &= 0\\\\ \Omega_y &= \Omega \cos{\phi}\\\\ \Omega_z &= \Omega \sin{\phi} \end{align*}

角速度使得球面上的坐标系相对于惯性系旋转，使得身处在旋转系中的我们感觉存在一个力使得运动轨迹发生偏移，实际上这只是非惯性系的“补偿”。

一个不严谨的推导如图：

δy=uδtδθ=uδtΩzδt=uΩzδt2δz=uδtδθ=uδtΩzδt=uΩzδt2δy=12(− ⁣dv ⁣dt)Aδt2δz=12( ⁣dω ⁣dt)Aδt2then( ⁣dv ⁣dt)A=−2Ωzu=−2Ωusin⁡ϕ( ⁣dω ⁣dt)A=2Ωyu=2Ωucos⁡ϕ\begin{align*} \delta y = u \delta t \delta \theta &= u \delta t \Omega_z \delta t = u \Omega_z \delta t^2\\\\ \delta z = u \delta t \delta \theta &= u \delta t \Omega_z \delta t = u \Omega_z \delta t^2\\\\ \\\\ \delta y &= \frac{1}{2}\left(-\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} v}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A \delta t^2\\\\ \delta z &= \frac{1}{2}\left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \omega}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A \delta t^2\\\\ &\\ then\\\\ \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} v}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A &= -2\Omega_z u = -2 \Omega u \sin{\phi}\\\\ \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} \omega}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A &= 2\Omega_y u = 2 \Omega u \cos{\phi} \end{align*}

类似的：

( ⁣du ⁣dt)A=2Ωz−2Ωyω=2Ωvsin⁡ϕ−2Ωwcos⁡ϕ\left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} u}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A = 2 \Omega_z - 2\Omega_y \omega = 2\Omega v \sin{\phi} - 2 \Omega w \cos{\phi}

Fig.2 科里奥利力中坐标系旋转示意图Fig.2 科里奥利力中坐标系旋转示意图

令 A\boldsymbol{A} 表示地转偏向力，其分量可写成：

{Ax=( ⁣du ⁣dt)A=2Ωz−2Ωyω=2Ωvsin⁡ϕ−2Ωwcos⁡ϕAy=( ⁣dv ⁣dt)A=−2Ωusin⁡ϕAz=( ⁣dw ⁣dt)A=2Ωucos⁡ϕ\begin{align*} \left\{ \begin{array}{ll} A_x &= \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} u}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A = 2 \Omega_z - 2\Omega_y \omega = 2\Omega v \sin{\phi} - 2 \Omega w \cos{\phi}\\\\ A_y &= \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} v}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A = -2 \Omega u \sin{\phi}\\\\ A_z &= \left(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} w}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\right)_A = 2 \Omega u \cos{\phi} \end{array} \right. \end{align*}

其向量形式为：

A=−2Ω×V\boldsymbol{A} = -2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{V}

旋转坐标系中的重力

合并地心引力和惯性离心力的作用，惯性离心力在地心引力相反方向的分量部分抵消了地心引力，气块的重量实际上小于mg∗mg^*。

g≡g∗+Ω2R\boldsymbol{g} \equiv \boldsymbol{g}^* + \Omega^2 \boldsymbol{R}

如果地球是一个正球体，惯性离心力会存在一个平行于地面指向赤道的分力。但地球是近似椭球体，调整后的地平面在指向赤道的方向没有重力分量。

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